尝试对“数列的极限”的新讲法

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1、尝试对“数列的极限”的新讲法学习极限，首先遇到的就是数列的极限，现行教材采用的是以下两种方法之一：1.要求较高的教材是直接引进极限的严格定义——“ε-δ”定义，它理论上非常严谨。但是，学习比较费力费时,很多学员并不能够达到深入理解ε-δ定义的要求。2.要求较低的教材都是使用了的极限的形象化定义,学员们很容易接受。但是，对于后面紧接的“极限的性质”只能用解释代替证明。这样不严格的东西养成习惯，对学员综合素质的培养是不利的。本文尝试采用取長补短的方法：10首先使用形象化定义,学员们很容易接受；20交给学员武器__“小邻域定理”(先只作解释，以后在适当的时候，再用ε-δ证明它)；30将数

2、列的极限的性质经过组织加工成“极限的八条性质”，这八条，比较规范化，可以减轻记忆负担(函数的极限仍然是同样的八条)。40用“小邻域定理”来证明这八条，证明的思路清晰，逻辑推导得力，过程简单明嘹；这样做的好处是使学员得到了一次很好的逻辑思维的训练，训练中自然加深了对这些极限性质的理解和记忆，而且所花时间并不多！一、数列的极限1.几个数列的例子(1)un=,(n=1,2,…)即()(2)un=,(n=1,2,…)即()(3)un=,(n=1,2,…)即()(4)un=2n-1,(n=1,2,…)即(1,3,5,…)un是数列的通项,un=u(n)它实质上是一个函数,自变量为n__是该项

3、的序号,定义域是N+(自然数)un本身也是一个变量,当序号n无限增大时,我们来研究变量un的变化趋势。显然,数列（1）的项会变得愈来愈靠近常数1；数列（2）的项会变得愈来愈靠近常数0；数列（3）的项会变得愈来愈靠近常数0；数列（4）的项不会变得愈来愈靠近任何一个常数。定义1:当变量x变得愈来愈靠近某个常数A时,我们称x以A为极限。记为x→A。定义2:当序号n无限增大时,数列的通项un变得无限趋近某个常数A时,我们称变量un以A为极限。记为un→A或=A。(否则记为unA；“”表示不趋近于)。上述定义,不难理解,但它只是提供了一个感觉的标准,不够严密。在最简单的情况下能够得到正确结果

4、,复杂的情况下仅靠感觉就不行了,下面的定理将非常有用。2.小邻域定理:un=A对ε>0,在小邻域U(A,ε)外只有数列{un}的有限多个项。(U(A,ε)中包含{un}的无穷多个项)。说明:(1)靠近“极限”A的标准,可以用小邻域半径长度ε来衡量:即当变量u进入小邻域U(A,ε)内並往后始终只在U(A,ε)内变化时,我们认为u实现了程度为ε的靠近。我们任意给出一个“靠近”的标准ε（正数）只要在某个项数N往后,变量u靠近“A”的程度就能够达到标准ε。ε可以是任意的小,也就是说标准可以任意的高！因此,我们就能够断言,u能够无限靠近“A”了,以上的说明能帮助我们理解极限。(图1)(2)推

5、论:若ε>0,在小邻域U(A,ε)中只有数列{un}的有限多个项。或在小邻域U外有数列{un}的无穷多个项,一定有:A不是un的极限(图2)；“小邻域定理”的严格证明见其它文档。(3)引用“小邻域定理”去证明许多有关极限的命题非常方便。3.若数列{un}收敛于A则它有性质:10唯一性：若un→A,un→B,则A＝B即极限唯一。证:若A≠B,可设A

6、,1)外只有{un}的m个项k=1,…m。∴M=max{

7、A

8、+1,

9、

10、,…,

11、

12、}就是数列{un}的一个上界。30保号性：当n充分大时,un保持同号。证:若un→A>0,取ε=A/2,U(A,ε)中包含{un}的无穷多个项都大于0。(图4）40保序性：当n充分大时，两个收敛数列对应项的差保持同号。证:设un→A,vn→B,A0,{un}落在U(A,ε)外只有有限(m)项，{vn}落在U(B,ε)也外只有有限(k)项，设n>这m+k项中最大的项数，则un必定落在U(A,ε)內而vn也必定落在U(B,ε)內，∴总有un

13、,并且收敛到同一极限。即→A→A。证:∵项的集合{}{un}∴→A对ε>0,U(A,ε)外只有数列{un}的有限多个项U(A,ε)外更只有{}的有限多个项→A。推论:如果存在某个子序列不收敛(或A),那麽,{un}也一定不收敛(或A)！60如果所有的(即任意取的)子序列{}都收敛,那麽,原数列{un}也一定收敛。证:因为{un}就是它自身的一个子序列，∴序列{un}收敛。记un→A。再由50知:所有的{un}的子序列都一定收敛于A。70:数列收敛的充要条件是它的任何一