2016春季数学集训队小考专题b7：观察与归纳答案

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1、小考专题七：观察与归纳训练指导12671516…3581417…4913…1012…11……1.将自然数按如下顺次排列。在这样的排列下，数字3排在第二行第一列，13排在第三行第三列。问：1993排在第几行第几列？解：由图可知，每斜行的最大数为：斜行数×(斜行数＋1)÷2。故第62斜行中最大的数是：62×(62＋1)÷2＝1953，第63斜行中最大的数是：63×(63＋1)÷2＝2016。所以1993位于第63斜行。第63斜行中数字是由下向上递增的，左边第一位数字是1954，因此，1993位于第63斜

2、行由下向上数第(1993－1954＋1)＝40位。换算为原阵列的行和列，便是第(63－40＋1)＝24行，第40列。答：1993排在第24行，第40列。2.下面是一个由数字组成的三角形，试研究它的组成规律，从而确定其中的x。10111001225542005101416166161564632160解：从数字组成的三角形中，第二行起，每行都包含一个数字0，而且一行在左边，一行在右边。确切地说，偶数行的第一个数字为0，奇数行(第一行除外)的最后一个数字为0。这是解答这个数字三角形的第一个关键。这个数字

3、组成的三角形，是由从上往下，一行接一行地构造出来的，所以观察时，也应当从上往下，一行接一行观察，以便发现它的组成规律。这是第二个关键。具体考察某一行时，如果想到每行都应当有一个起点，那么就先构造这个数，然后再一个接一个地构造这一行中的其他数。这是认识这个三角形的第三个关键。那么，解答的起点是什么呢？很明显，它应当位于一行的端点。所以，我们把0当作每一行的起点，来考察这一行数字的组成规律。这样，我们就会发现下面的规律：①先写一个0，如果这一行是偶数行，就写在最左边，如果是奇数行，就写在最右边。②再写与

4、0紧挨着的一个数字A。③再考虑下一个小等边三角形，写出与A紧挨着的数字B。④这样一步一步推下去，就可以写出整个这一行的数字。⑤回到①，再写出下一行。这样就可以写出整个三角形。用上面的规律来求x，可以知道接下去的一行(第八行)为：061122178224256272272，故x＝178。3.求除以26的余数。解：∵8888880(mod26)(即6个“8”连写能被26整除)而20095(mod6)(即把6个8看成一个周期，若干个整周期后，还余5个“8”)又8888820(mod26)∴20(mod26

5、)答：除以26的余数是20。4.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，……。请你根据以上操作方法得到的正方形的个数的规律，完成各题。操作次数n12345…n正方形的个数47101316…an(1)将下表填写完整；(2)用含n的代数式表示an;(3)按照上述方法，能否得到2009个正方形？如果能，请求出n；如果不能，请简述理由。答：(2)an＝3n＋1；(3)不能。因为如3n＋1＝2009，即3n＝2008

6、，而2008不是3的倍数，所以按照上述方法，不能得到2009个正方形。5.给定以下数列：，，，，，，，，，，，…。(1)是第几项？(2)第385项是几分之几？解：(1)分子、分母和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，…。分子、分母和为23，写完分子、分母和为22为止共有1＋2＋3＋4＋…＋21＝231(个)是和为23的第23－5＝18(个)故是231＋18＝249(项)(2)因1＋2＋3＋4＋…＋27＝378，所以第378项是，分子、分母和为28，即第385项分子、分母和为29。第385项

7、分母是385－378＝7，分子为29－7＝22故第385项是。6.有一列数：1，3，4，7，11，18，…。(从第三个数开始，每个数恰是它前面相邻两个数的和)。(1)第1991个数被6除余几?(2)把以上数列按下述方法分组(1)，(3，4)，(7，11，18)，…(第n组含有n个数)。求第1991组的各数之和被6除余数是几?解：(1)这列数除以6的余数为：1、3、4、1、5、0、5、5、4、3、1、4、5、3、2、5、1、0、1、1、2、3、5、2、1、3、4、1、5、0、……，由上可知，这列数除以

8、6的余数周期为24。故第1991个数被6除的余数为：1991÷24＝82……23(第23个余数为5)(2)按规定分组后，前1990组共有：1＋2＋3＋…＋1990＝1981045(个)数，所以第1991组数的第一个数是从这列数的第1981046个数开始，到这列数的1981045＋1991＝1983036个数为止。而这列数的第1981046个数除以6的余数为：1981046÷24＝82543……14(第14个余数为3)。因为第1991组数有1991个数，所以这1991个