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1、【电大毕业论文】有关循环矩阵性质及应用的探讨【摘要】本文研究了矩阵中一类重要的矩阵-循环矩阵，介绍了循环矩阵的性质，讨论了循环矩阵求逆的方法，并且针对循环矩阵的对角化以及循环矩阵的应用等问题作了进一步探讨。【关键词】循环矩阵;逆矩阵;对角化1.引言循环矩阵的概念是于1885年首先提出来的,自提出以来,直到1950-1955年,Good等人才开始分别对循环矩阵的逆,行列式及其特征值进行了相应地研究[1].自1950年以来,循环矩阵被数学界高度重视,发展迅速,许多数学工对它进行了大量研究,得出很多成果.目前有关循环矩阵的问题依然是大家热于探讨的课题.近年来,循环矩阵类已不断指引着应用数学和矩阵
2、理论领域中的一个非常积极的和重要的研究方向.循环矩阵之所以会吸引数学学者和工如此大的兴趣和孜孜不倦的追求,是因为它是一类特殊结构,具有良好性质的矩阵,而且也是非常重要的矩阵，同时它也是应用非常广泛的一类矩阵,比如在编码理论、理论物理、分子的轨道理论、数理统计与概率、图像数学处理、固态物理、计算结构等很多的方面应用都比较广泛.同时循环矩阵的逆和特征值问题,在物理方面的力学振动系统设计,分子结构理论,线性多变量控制理论及数值分析等领域中也频繁闪现.对循环矩阵的研究是矩阵理论的重要组成部分,且日益成为应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究方向.在实际生活中许多的数学模型是有关循环矩阵的,但目前循
3、环矩阵的理论还不是很完善,所以数学工对循环矩阵的研究仍在不停的继续.其中循环矩阵的逆矩阵求法是多国数学工研究的一个热点.在对文献进行深入讨论和研究的基础上，本文详细地综合了以往对循环矩阵的相关研究及结论,重新证明了以往的部分结论,继续研究了循环矩阵的各种性质，并且对循环矩阵的逆矩阵和对角化问题也进行了研究探讨，最后给出了循环矩阵的相关应用。2循环矩阵的定义定义2.1形如的矩阵称为循环矩阵．若为实数域上的个数，称矩阵为实数域上的阶循环矩阵，简记为；若为复数域上的个数，称矩阵为复数域上的阶循环矩阵，简记为.定义2.2形如的矩阵称为基本循环矩阵．显然（阶单位矩阵）都是循环矩阵。由文献[4]可知任
4、意的阶循环矩阵都可以用线性表出，即从上可知如果令,则.称为阶循环矩阵的生成多项式.3循环矩阵的性质性质3.1设都是数域上阶循环矩阵,数,那么,也都是阶循环矩阵.性质3.2两个循环矩阵的乘积仍为循环矩阵，且．性质3.3任一循环矩阵在复数域上都与一个对角矩阵相似.性质3.4可逆的循环矩阵的逆矩阵仍是循环矩阵．证明由矩阵可逆的定义，我们只要找到可逆的循环矩阵其中(为待定系数)使得,其中为可逆的循环矩阵.设则有由于,则有下列方程组成立（3.4）其中为未知数.它的系数矩阵为(表示的转置矩阵).由于可逆,其中,所以方程组中有且仅有唯一的解,即唯一存在,从而这样的就是的逆矩阵,且也是循环矩阵.性质3.5
5、可逆的循环矩阵的伴随矩阵.证明因为是阶可逆的,所以,因此由性质3.4知,是.由此所以是循环矩阵.4.循环矩阵的逆矩阵定理4.1循环矩阵可逆的充要条件是的生成多项式无单位根.证明构造取其中,.即为所有次单位根.由于两两不同,所以由范德蒙行列式的性质知矩阵是可逆的,从而其中因此只要.则,即矩阵可逆.即循环矩阵可逆的充要条件是方程无单位根.定理4.2设维向量,如果方程的解为，那么．例1求矩阵的逆矩阵.解因为的解为．从而．定理4.3，其中为阶矩阵，则（1）和．（2）如果和可逆且的逆为，那么．（4.3）根据定理4.3的（2），求阶的逆可以进行分块矩阵计算，分块的根据是以阶顺序主子式为一块，共分成四块
6、，这样就可以将阶的逆转化成一个阶的逆，从而给问题的解决带来很大的简便．例2求的逆矩阵．解根据定理（4.3）的结论（2），将矩阵分块为其中，,,可逆，那么=，从而于是．5.循环矩阵的对角化阶矩阵关于多项式函数生成的矩阵为，的特征根与的特征根有下面的结论：结论5.1设是一个次多项式函数，若是矩阵的特征根，则是矩阵的特征根．结论5.2设是一个次多项式函数，若矩阵相似于矩阵，则矩阵相似于矩阵．考察阶循环矩阵，的特征多项式为：如果阶记为，不难求得与特征值相应的特征向量，记：，则得可以验证将这个两两正交的向量单位化，可得标准正交基令矩阵则．于是有下面的结论：结论5.3任意在复数域，即．在一类，如果对角
7、化的矩阵为：由结论5.3，只要令即可得个关于的线性方程组．又由于矩阵及特征根由阶矩阵确定，且．所以，多项式函数中的系数是唯一的．于是，循环矩阵是唯一的．因此，可得出在一类可对角化的相似矩阵中，一定有且仅有一个循环矩阵．否则，就不对角化.下面给出一个四阶循环矩阵的实例：例3求四阶的特征根，并对角化.解令得，由于，所以，的特征根分别为：其中，，可以验证．6.循环矩阵的应用定理6.1阶矩阵可以对角化的充要条件是相似于一个阶循环
