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时间:2019-11-15
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1、浅谈“循环矩阵”的性质及应用毕业论文摘要错误!未定义书签。Abstract错误!未定义书签。1前言12.循环矩阵的基本概念及性质32.1基本概念32.2循环矩阵的性质32.3循环矩阵的对角化63循环矩阵的推广93.1广义循环矩阵93.2厂一循环矩阵133.3反循坏矩阵16小结20参考文献21致谢错误!未定义书签。1前言循环矩阵的概念是T-Muir于1885年首先提出來的,B提出以來,直到1950-1955年,Good等人才开始分别对循环矩阵的逆,行列式及其特征值进行了相应地研究"3冃前有关循环矩阵的问题依然是大家喜欢和热爱研究的一个热点.自1950年以来,循环矩阵
2、被数学界高度重视,发展迅速,各种新的循环矩阵概念也被相继提出,已有十儿种:如向后循环矩阵,循环布尔矩阵,八(块)循环矩阵,厂-循环矩阵,向后(对称)循环矩阵,块循环矩阵等等®打许多数学工作者对它进行了大量研究,得出很多成果.在线性代数中,循环矩阵是一种特殊形式的toeplitz矩阵,它的行向量的每个元素都是前一个行向量各元索依次右移一个位置得到的结果.山于可以用离散傅立叶变换快速解循坏矩阵,所以在数值分析中有重要的应用.近年來,循坏矩阵类已不断指引着应用数学和矩阵理论领域屮的一个非常积极的和重要的研究和学习方向.而它之所以会吸引数学学者和工作者如此人的兴趣和孜孜不
3、倦的追求,是因为循环矩阵是一类具有特殊结构,并且有良好性质的矩阵,而且也是非常重要的矩阵.同时它也是应用非常广泛的一类矩阵,比如在编码理论、理论物理、分子的轨道理论、数理统计与概率、图彖数学处理、固态物理、计算结构等很多的方面应用都比较广泛•同时循环矩阵的逆和特征值问题,在物理方面的力学振动系统设计,分了结构理论,线性多变量控制理论及数值分析等领域屮也频繁闪现.对循环矩阵的研究是炬阵理论的重要组成部分,且日益成为应用数学领域屮一•个非常活跃和重要的研究方向.基于这类矩阵有许多良好的性质和结构,很有必要对其进行推广并探讨其特殊结构、特殊性质、各种各样的多项式表示形式
4、极小多项式、非奇异性、特征多项式、对角化、谱分解、特征值、逆阵、自反g-逆、群逆及nioore-penrose逆的各种快速算法等.目前由于循环矩阵的理论还不是很完善,而在实际生活中许多的数学模型是有关循环矩阵的,数学工作者对循环矩阵的研究仍在不停的继续着.其中循环矩阵的逆矩阵求法是多国数学工作者研究的一个热点.本文在对文献[1・8]进行深入讨论和研究的基础Z上分析总结,对于矩阵系统中一类非常重要的矩阵〜循环矩阵,又一次从最棊本的定义出发详细地综合了以往对循环矩阵的相关研究及结论,并在其基础上对于以往的结论进行重新证明,同时继续研究循环矩阵的各种性质.并且利用矩阵对
5、角化的方法来研究和学习循坏愆阵的伴随矩阵,逆矩阵,以及行列式的表达方式;利用范德蒙矩阵对循环矩阵的一个定理给出了推广,并得到二重循环矩阵(广义循环矩阵)的性质,即广义循环矩阵(二重循环矩阵)和厂-循环矩阵的相应性质,随之对循环矩阵的应用性质和进行进i步的讨论.2.循环矩阵的基本概念及性质2.1基本概念定义2.1复数域C上形如/qal•••%q•••an-2an-2■■an-l■■a。■■•••■■an-3■■■<4■a2■°3•••■q>A(2.1)的矩阵,称为〃阶的循环矩阵.定义2.2设数域K0…01・・・00、00…00・・・0由于g2=ro01・・・00、
6、<000・・0n000…•00100・・00■■■••••••■■■■■•c〃一1,…Q=■■•■•100…•00000••00010…•00丿<000••10其中E是单位矩阵,称矩阵G为基本循环矩阵.2.2循环矩阵的性质性质2.1令B严Gt=2…,n,则矩阵弘场廻屛,…吗都是循环矩阵且目』2』3,為…,鸟是线性无关的.证明从上可知显然BE心B”••心是循环矩阵•下面只要证它们是线性无关的即可.设X]B]+兀2坊+…+£场=0,则£•V1=0因此石二花二…二所以冋廻廻,為…,优是线性无关的.性质2.2任意的〃阶循环矩阵A(如(2.1)式)都可以由冋,坊,尽,坊,
7、…,优线性表出,即A=€/
8、Bj+色+…+。。场•从上可知如果令.f(x)=do+G$+・・・+则A=/(G).称才(兀)为斤阶循环矩阵A的生成多项式.性质2.3设A,B都是数域K±n阶循环矩阵,数kwK,那么A-^B,kA,AT也都是n阶循环矩阵.注性质3表明循环矩阵对于通常的矩阵的加法、数乘矩阵以及矩阵的转置运算都是封闭的.这里就不加证明了.性质2.4设A,〃都是数域K上n阶循环矩阵,那么它们的乘积也是数域K上的〃阶循环矩阵,并fl.AB=BAf即循环矩阵的乘积仍然是循环矩阵.证明设人,B全为斤阶循环矩阵,不妨设A=f(G)9B=g(G)其中则/(x)=兔+吗
9、兀+…+a
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