线代基础教程(整理版)

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1、线性代数第14章行列式先研究两个方程的二元一次方程组：其中，不妨设，将方程组的第一个方程等式两端乘以（），再分别加到第二个方程，即得情形1，此时可解出，再代入第一个方程可得、分别为和，情形2，此时若，亦即则方程组无解；否则方程组有无穷多个解。显然表达式或在二元一次方程组求解中扮演了重要的角色，我们把它称为2阶行列式。为了便于记忆，将表达式（）记为，。由此启发，若我们考虑n个方程的n元一次方程组时有没有类似的结论？这自然需要引进n阶行列式的概念。14.1行列式的概念与性质行列式定义：由个数组成的阶行列式是一个算式，其结果是一个数。记为两种计算方式：32（1）是的一个排序，注意

2、和式中有项。（2）递归法计算当时，，当时，。其中，称为行列式的第i行、第j列的元素，称为的代数余子式，称为的余子式。是划去中的第i行、第j列后剩下的元素按原来的次序排成的n-1阶行列式。证明阶行列式的展开式有项。用数学归纳法，当时，命题显然，故设时命题为真，当时，的展开式中的每一个代数余子式为n-1阶行列式，对应的展开式有项，共有个不同代数余子式，故的展开式有项。行列式的性质(1)行列式行列对换，行列式的值不变。即=(2)行列式两行（列）对换，行列式的值反号。即32=(1)行列式中如果某一行（列）有公因子，则可以提到行列式外。=特别当行列式某一行（列）的元素全为零，则行列式

3、的值为零。(2)行列式中如果某一行（列）的每个元素都是两个数之和，则此行列式等于两个行列式之和。这两个行列式除这一行（列）外，其余的行（列）全于原来的行列式的对应行（列）一样。=+(3)行列式中如果某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）对应元素上去，行列式的值不变。=特别若行列式某两行（列）的元素成比例，则行列式的值为零。(4)行列式的拉普拉斯展开定理：行列式中按任一行（任一列）用下式展开，行列式的值不变。32行列式的第二种定义方式即是拉普拉斯展开定理的特例（按第一行（列）展开）。(1)行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即，，，。根

4、据性质（6），这相当于行列式有两行或两列对应元素相同，利用性质（5）即得。几个特殊的行列式（1）对角行列式。（2）上三角行列式=。（3）下三角行列式=。14．2行列式的计算例14.2.1最一般的办法，要掌握。例14.2.2直接用行列式的性质（5）做。例14.2.3一个行列式的计算中常用的技巧。例14.2.4=。例14.2.5计算五阶行列式32解：====。===14．3典型例题例14.3.1。例14.3.2按定义做。例14.3.5=====。释例14.3.6计算行列式此题用拆项法做是正解，亦可用如下的办法===32例14.3.6注意行列式展开式中每一项只能有一行（一列）中一

5、项。例14.3.7注意行列式的性质。例14.3.8注意并非行列式的根，故须先求行列式的值，循环阵的行列式。==多项式的韦达定理，。第15章矩阵矩阵的理论及其应用是线性代数的核心问题，熟练掌握矩阵的知识是学好线性代数的关键。15.1矩阵的概念矩阵的定义：由个数排成m行n列的矩形数表称为矩阵，记为，简记为。数称为矩阵中的第i行第j列的元素。时，称为方阵，简称为n阶矩阵。的矩阵，称为n维行向量，如。的矩阵，称为n维列向量，如。所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为。为了进一步讨论矩阵的运算，我们需要建立同形矩阵的定义：设，，则称与为同形矩阵。如果，则称与相等，记为=。矩阵的运算32

6、（1）矩阵的加法：设同形矩阵，，则矩阵称为矩阵与的和，记为。矩阵加法的性质：设、、是三个同形矩阵，则；；；称为的负矩阵，满足。。（2）矩阵的数量乘法：是一个数，矩阵数量乘法的性质：设、是两个同形矩阵，是两个数，则；；；。（3）矩阵的乘法：设矩阵，，则矩阵称为与的乘积，记为。注意：矩阵乘积中的列数必须与的行数相同。矩阵乘积不满足交换律，即使两个矩阵，的乘积与都存在也是如此。，矩阵乘法的性质：设矩阵、、、在下面的矩阵乘积中均能进行，是一个数，则；；；即矩阵乘法满足结合律与分配律。（4）方阵的幂乘：为n阶矩阵，个连乘称为的次幂，记为。方阵幂乘的性质：是任意两个正整数，则；。注意：

7、由于矩阵乘积不满足交换律，一般32；；。例15.1.8一个构造可交换矩阵的例子。例15.1.9其一般化的结论是令，则。例15.1.10的一般化结论若，则32。（1）矩阵的转置：称矩阵是矩阵的转置矩阵，这里满足注意：若是的矩阵，则是的矩阵。矩阵转置的性质：；；；。（2）方阵的行列式：设，则称为的行列式，这里。方阵行列式的性质：；；。几个特殊矩阵（1）单位矩阵。单位矩阵满足，。（2）对角矩阵，常简记为。对角矩阵的和、数乘、乘积仍为对角矩阵。（3）上（下）三角矩阵32上三角矩阵，下三角矩阵。上（下）三角矩阵的和、数乘、乘