排列组合公式大全排列组合公式大全排列组合公式大全

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1、排列组合公式（1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。　　（2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。　　重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。　　难点：不重不漏。　　知识要点及典型例题分析：　　1．加法原理和乘法原理　　两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。　　例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。　　（

2、1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？　　（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？　　（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。　　解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。　　（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。　　（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能

3、完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？　　分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。”　　因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=125（种）。　　2．排列数与组合数的两个公式　　排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的

4、形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。　　　　　　　连乘积的形式　　　　　阶乘形式　　Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=　　Cnm=例3．求证：Anm+mAnm-1=An+1m　　证明：左边=　　　　　　　　　　　∴等式成立。　　评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)!可使变形过程得以简化。　　例4．解方程.　　解：原方程可化为：  　　　　  　解得x=3。　　评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元

5、素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。　　3．排列与组合的应用题　　历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的，而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。　　一般方法有：直接法和间接法。　　（1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。　　（2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据A∪=I且A∩=的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。　　特殊方法：　　

6、（1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。　　（2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。　　（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。　　（4）其它方法。　　例5．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。　　（1）甲排中间；　（2）甲不排两端；（3）甲，乙相邻；　　（4）甲在乙的左边（不要求相邻）；（5）甲，乙，丙连排；　　（6）甲，乙，丙两两不相邻。　　解：（1）甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6人任意排列，故共有：1×=72

7、0种不同排法。　　（2）甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有种，其余6人可任意排列有种，故共有·=3600种不同排法。　　（3）甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余5人共6个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有·=1400种不同的排法。　　（4）甲在乙的左边。考虑在7人排成一行形成的所有排列中：“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要