奥数提高班第一讲_有理数的巧算(含答案)_

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1、第一讲 有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．　　1．括号的使用　　　　在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．　　例1计算下式的值：　　211×555+445×789+555×789+211×445．　　　　例2在数1，2，3，…，1998前添

2、符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？　　　　2．用字母表示数　　我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：　　这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________　　于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________　　这个公式叫___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．　　例3计算3001×2999的值．练习1计算103×97×10009的值

3、．练习2计算：　　　　练习3计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．　　　　练习4计算：　．　　　　　　3．观察算式找规律　　例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．　　87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．　　　　例5计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．　　　　例6计算1+5+52+53+…+599+5100的值．　　　　例7计算：　　练习一1．计算下列各式的值：　　(1)-1+

4、3-5+7-9+11-…-1997+1999；　　(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；　　(3)1991×1999-1990×2000；　　(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；　　　(6)1+4+7+…+244；　　　2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．　　81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第一讲 有理数的巧算答案　例1计算下式的值：　　21

5、1×555+445×789+555×789+211×445．　　分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．　　解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)　　　　　=211×(555+445)+(445+555)×789　　　　　=211×1000+1000×789　　　　　=1000×(211+789)　　　　　=1000000．　　说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例2在数1，2，3，…，19

6、98前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？　　分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．　　现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．　　这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规

7、则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．　　所以，所求最小非负数是1．　　说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．例3计算3001×2999的值．　　解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8999999．例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．　　87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

8、分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数