2011届高考数学第一轮复习精编复习教案8

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1、立体几何中的有关证明与综合问题例1．已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°<α<90°），B’在底面上的射影D落在BC上。（1）求证：AC⊥面BB’C’C。（2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。讲解：（1）∵B’D⊥面ABC，AC面ABC，∴B’D⊥AC，又AC⊥BC，BC∩B’D=D，∴AC⊥面BB’C’C。（2）由三垂线定理知道：要使AB’⊥BC’，需且只需AB’在面BB’C’C内的射影B’C⊥BC’。即四边形BB’C’C为菱形。此时，BC=BB’。因为B’D⊥面ABC，所以，就是侧棱

2、B’B与底面ABC所成的角。由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时=。即当α=时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。例2．如图：已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。（1）求证：平面EDB⊥平面PBC；（2）求二面角的平面角的正切值。讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，，那么我们自然想到：是否有？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。∵面PDC⊥底面ABCD，交线为D

3、C，∴DE在平面ABCD内的射影就是DC。在正方形ABCD中，DC⊥CB，∴DE⊥CB。又，，∴DE⊥。又面EDB，∴平面EDB⊥平面PBC。（2）由（1）的证明可知：DE⊥。所以，就是二面角的平面角。∵面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，又平面ABCD内的直线CB⊥DC。∴CB⊥面PDC。又面PDC，∴CB⊥PC。在Rt中，。点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。例3．如图：在四棱锥中，⊥平面，∠，，，为的中点。（1）求证：平面；（2）当点到平面的距离为多少时，平面与平面所成的二面角为？讲解：题目中涉及到平

4、面与平面所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要证平面，应该设法证明CE平行于面内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。（1）延长BC、AD交于点F。在中，∠，所以，AB、CD都与AF垂直，所以，CD//AB，所以，∽。又，，所以，点D、C分别为线段AF、BF的中点。又因为为的中点，所以，EC为的中位线，所以，EC//SF。又，，所以，平面。（2）因为：⊥平面，AB平面，所以，AB。又ABAF，，所以，AB面。过A作AHSF于H，连BH，则BHSF，所以，就是平面与平面所成的二面角的平面

5、角。在Rt中，要使=，需且只需AH=AB=。此时，在SAF中，，所以，。在三棱锥S-ACD中，设点A到面SCD的距离为h，则h=因为AB//DC，所以，AB//面SCD。所以，点A、B到面SCD的距离相等。又因为E为SB中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点B到面SCD距离的一半，即。点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价转化，在转化的过程中不断探求结论。例4．如图，已知面，于D，。（1）令，，试把表示为的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？讲解（1）为寻求与的关系，首先可以将转化为。∵面，于D，∴。∴。∴。∵

6、为在面上的射影。∴，即。∴。即的最大值为，等号当且仅当时取得。（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得。。令，解得：，与交集非空。∴满足条件的点Q存在。点评本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。例5．如图所示：正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。讲解：（1）连交于点，连PO，则PO⊥面ABCD，∴∠PAO就是

7、与底面所成的角，∴tan∠PAO=。设AB=1，则PO=AO•tan∠PAO=。设F为AD中点，连FO、PO，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角。在Rt中，，∴。即面与底面所成二面角的大小为（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，。∴就是异面直线PD与AE所成的角。在Rt中，。∴。由，可知：面。所以，。在Rt中，。∴异面直线PD与AE所成的角为。（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面的一条垂线，然后再平移到点E即可。为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入