第七届“锐丰杯”初中数学邀请赛试题及答案

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1、座位号学校　　　　　　　　　　　准考证号　　　　　　　　　　　姓名　　……………..………….密………………..…………….封……………………………..线…………………….第七届“锐丰杯”初中数学邀请赛试题(满分150分)一．选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分，每题有且只有一个答案）1．化简得（）ABCD2．如图，已知是正方形内一点，是等边三角形，若的外接圆半径为，则正方形边长为（）A．B．C．D．3．函数的图像和轴有交点，则A．B．C．且D．且4．对于一个正整数，若能找到正整数使得，则称为一个“好数”，例如：，则3就是一个“好数”，那么从1到20这20个正整数中

2、“好数”有()．A8个B10个C12个D13个5．凸四边形ABCD的四个顶点满足：每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等。则四边形ABCD一定是（）A正方形B菱形C等腰梯形D矩形ABCDA1C1B1D16.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，一蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C1点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为（）（A）（B）（C）（D）一．填空题（本大题共6小题，每小题9分，共54分7．.已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于__.8.如图，正六边形中，是上一点，直线与射线相交于，当面积与正六边形面积

3、相等时，9.已知三个非负实数满足：和，若，则m的最小值为10．满足方程的的取值范围是11．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么若,则，从而是方程的两个根。据此可知：①可以运算，例如：，则，②方程的两根为（根用表示）注：①问空3分，②问空6分12．已知对任意正整数都有，则三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分)13．规定符号表示不超过的最大整数，例，求：方程大于的的解14．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（

4、2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．（1）求这条抛物线对应的函数关系式；（2）连结BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；（3）连结BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．ABCDEM15.(17届江苏初三)如图（1）至图（3），C为定线段AB外一动点，以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG，分别作、，垂足分别为、．当C的位置在直线AB的同侧变化过程中，（1）如图（1），当∠ACB＝90°，AC=4，BC=3时

5、，求的值；（2）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，的值为定值；图（1）图（2）图（3）（3）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点．第七届“锐丰杯”初中数学邀请赛参考答案一．选择题ACBCDB二．填空题7．68．9．10．11．①②12．三．解答题13．解：；又由，即：………（6分）当时，原方程化为，检验适合………（8分）当时，原方程化为，检验适合……………（10分）当时，原方程化为，检验都不适合……………（12分）当时，原方程化为，检验都不适合……………（14分）当时，原方程化为，检验适合……………（16分）当时，原方程化为，检验不适

6、合……………（18分）综上可得满足条件的方程的解为或或……………（20分）14．（1）根据△ABE与△ABC的面积之比为3∶2及E（2，6），可得C（0，4）.∴D（0，2）.…………………………（2分）由D（0，2）、E（2，6）可得直线AD所对应的函数关系式为y＝2x＋2.……（4分）当y＝0时，2x＋2＝0，解得x＝－1.∴A（－1，0）.……………………………（6分）由A（－1，0）、C（0，4）、E（2，6）求得抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋3x＋4.……………………（8分）（2）BD⊥AD…………………………………………………（9分）求得B（4，0），……

7、…………………（10分）通过相似或勾股定理逆定理证得∠BDA＝90°，即BD⊥AD.………（12分）（3）法1：求得M（，），AM＝.……………………（16分）由△ANB∽△ABM，得＝，即AB2＝AM·AN，∴52＝·AN，…………………………（18分）解得AN＝3.从而求得N（2，6）.………………………（20分）法2：由OB＝OC＝4及∠BOC＝90°得∠ABC＝45°.…………………………（16分）由BD⊥AD及BD＝DE＝2得∠AEB＝45°.…………………………（18分）∴△AEB∽△ABM，即点E符合