2015年小学六年级奥数系列讲座：计算综合（含答案解析）

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1、计算综合本讲主要是补充[计算综合(I)]未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算．1．n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]÷3；2．从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：3．平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)．1．已知a=试比较a、b的大小.【分析与解】其中A=99,B=99+因为A98+，所以有a

2、试求1+2+3+4+…4+100的值?【分析与解】方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050．方法二：倒序相加，1+2+3+4+5+…97+98+99+100100+99+98+97+96+…4+3+2+1,上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为10l×100÷2=5050．方法三：整数裂项(重点)，原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+…+100×2)÷2====5050.2．试求l×2+2×3

3、+3×4+4×5+5×6+…+99×100．【分析与解】方法一：整数裂项原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+…+99×100×3)÷3=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+…+99×100×(101-98)]÷3方程二：利用平方差公式12+22+32+42+…+n2=原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+…+992+99=12+22+32+42+52+…+992+1+2+3+4+5+…+99=

4、=328350+4950=333300．5．计算下列式子的值：0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.810.0【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算．即先计算1×3+24+3×5+46+…+9799+98×100。再除以100．方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法．0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.810.0=

5、(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×100)÷100=[(l×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+…+(97×98+97)+(98×99+98)]÷100=[(1×2+2×3+3×4+4×5+…+97×98+98×99)+(1+2+3+4+…+97+98)]÷100=(×98×99×100+×98×99)÷100=3234+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式进行计算．0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7

6、×9.9+9.8×10.0=(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×l00)÷100=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+…+992-1)÷100=(11+22+32+42+52+…+992-99)÷100=(×99×100×199-99)÷100=16.5×199-0.99=16.5×200-16.5-0.99=3282.51评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的．下面简单介绍一下整数裂项．1×2+2×3+3×4+…+(n-1)×

7、n=×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+(n-1)×n×3]=×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+…+(n-1)×n[n+1-(n-2)]}==6.计算下列式子的值：【分析与解】虽然很容易看出可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式12+22+32+…+n2=×n×(n+1)×(2n+1)，于是我们又有减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?=

8、======7．计算下列式子的值：【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.显然12+1=2;所以原式=198012×2=396024．习题计算17×18+18×19+19×20+…+29×30的值．提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.答案：(29×30×31-16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.