2008年海淀区高三数学查漏补缺试题资料

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1、2008海淀区高三数学查漏补缺题2008.05.19说明：请各学校针对自己学校情况补充和选用查漏补缺题.请别忘了从海淀教研网上下载“高中数学易忘、易混、易错的问题”。一、三角部分1．已知且（I）求（或）；（II）求解（I），.（）（II），.，..解法2：，，..2．右图为函数的一段图象.（I）请写出这个函数的一个解析式；（II）求与（I）中函数图象关于直线对称的函数图象的解析式，并作出它一个周期内的简图.解：（I）又由的图象过（为其中一个值）.∴为所求.（II）设为所求函数图象上任意一点，该点关于直线对称点为，则点必在函数

2、的图象上.∴，即的图象关于直线对称的函数图象的解析式是.列表：作图：00-3030二、概率3．（文科）一辆车要直行通过某十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）.已知每辆车直行的概率是，左转行驶的概率是，该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟.假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒钟，一辆左转的车驶出停车线需要20秒钟，求：（I）前4辆车恰有2辆车左转行驶的概率；（II）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率（汽车驶出停车线就算通过路口）解：（Ⅰ）

3、前4辆恰有2辆左转行驶的概率（Ⅱ）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率.4.（理科）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：ξ0123P甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=.（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P（A）==

4、=，P（B）===.因为事件A、B相互独立，方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P（）=P（）P（）=（1－）（1－）=.∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1－P（）=1－=.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P（A·）+P（·B）+P（A·B）=P（A）P（）+P（）P（B）+P（A）P（B）=×+×+×=.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.三、立体几何5．已知矩形ABCD中，AB=，AD=1.将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在

5、DC上.（Ⅰ）求证：平面ADC⊥平面BCD；（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离；ABCDABCDE（Ⅲ）若E为BD中点，求二面角B-AC-E的大小.方法1：（Ⅰ）证明：∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，即平面ACD经过平面BCD的垂线，∴平面ADC⊥平面BCD.FABCDEG（Ⅱ）解：依条件可知BC⊥DC，又平面平面，且平面平面＝∴BC⊥平面ACD.∵DA平面ACD，∴BC⊥DA.①依条件可知DA⊥AB.②∵AB∩BC=B，∴由①、②得DA⊥平面ABC.设点C到平面ABD的距离为d，∵DA⊥平面ABC，∴DA是三棱锥D-AB

6、C的高.∴由VC-ABD=VD-ABC，得dS△ABD=DAS△ABC.解得d=.即点C到平面ABD的距离为.（Ⅲ）解：取中点，连为中点由（Ⅱ）中结论可知DA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.过F作FG⊥AC，垂足为G，连结EG，则GF为EG在平面ABC的射影，∴∠EGF是所求二面角的平面角.在△ABC中FG＝BC＝,又EFAD，∴EF＝在△EFG中容易求出∠EGF=45°.即二面角B-AC-E的大小是45°.方法2：（Ⅰ）证明：如图，以CB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点C，平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间

7、直角坐标系.所以C（0，0，0），B（1，0，0），D（0，－，0），设∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，由且,得.∴点A的坐标为A（0，，）.∵n1=（0，0，1）是平面BCD的一个法向量.而=（1，0，0）是平面ADC的一个法向量.∵n1·=（0，0，1）·（1，0，0）=0，∴平面ACD⊥平面BCD.（Ⅱ）解：设点C到平面ABD的距离为d，∵=（0，，-），=（1，，），=（0，，），容易求出平面ABD的一个法向量为n2=（-，1，-1）.∴d=

8、

9、

10、cos<，n2>

11、=

12、1×

13、=.即点C到平面ABD的距离为.（Ⅲ

14、）解：∵=（-1，-，），=（1，0，0），∴容易求出平面ABC的一个法向量为n3=（0，1，1）.A（0，-，），E（，-，0），∴=（，0，-）.∴容易求出平面AEC的一个法向量为n4=（2，，）.∵n3·n4=0++=2，

15、n3

16、=，

17、n4

18、=2，∴cos==.∴二面角