北京海淀区高三查漏补缺数学

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1、海淀区高三数学查漏补缺题2010年5月一、函数部分：1．已知函数（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围.2．设.（I）求的单调区间与极值；（II）求方程的实数解的个数.xO1CDBA3．如图，矩形ABCD内接于由函数图象围成的封闭图形，其中顶点C，D在上，求矩形ABCD面积的最大值.二、数列部分：1．设数列的前项和．（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）若，且，求数列的前项和．2．数列满足，（）（Ⅰ）当时，求及；（Ⅱ）是否存在实数，使得数列14/14为等差数列或等比数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由；三、统计与概率部分：1．（理科学生做）

2、某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．（Ⅰ）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（Ⅱ）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖.如果前三道题都答错，就不再答第四题.某同学进入决赛，每道题答对的概率的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；②记该同学决赛中答题个数为，求的分布列及数学期望．2．（理科学生做）袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球.　（Ⅰ）若有放

3、回地取3次，每次取1个球，求取出1个红球2个黑球的概率；　（Ⅱ）若无放回地取3次，每次取1个球，①求在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率；②求取出的红球数X的分布列和数学期望.3．（文科、理科学生做）已知，（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求的概率．（Ⅱ）若是从区间中任取的一个数，是从区间中任取的一个数，求的夹角是锐角的概率．4．（文科学生做）一个袋中装有大小相同的黑球和红球，已知袋中共有5个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是.现将黑球和红球分别从数字1开始顺次编号.（Ⅰ）若从袋中有放回地取出两个球，每次只取出一个球，求取出的两个球上编号为相同数

4、字的概率.（Ⅱ）若从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回.求取出的两个球上编号之积为奇数的概率．14/145．（文科学生做）据统计，从5月1日到5月7号参观上海世博会的人数如下表所示：日期1日2日3日4日5日6日7日人数（万）2123131591214其中，5月1日到5月3日为指定参观日，5月4日到5月7日为非指定参观日.（Ⅰ）把这7天的参观人数看成一个总体，求该总体的平均数（精确到0.1）；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从非指定参观日中抽取2天，它们的参观人数组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过2万的概率.四、解析几何部分1．如图，椭圆的左顶点、右焦点分别

5、为，直线的方程为，为上一点，且在轴的上方，与椭圆交于点（1）若是的中点，求证：.（2）过三点的圆与轴交于两点，求的范围.2．（理科学生做）已知圆，动圆与定圆在轴的同侧且与轴相切,与定圆相外切.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）已知，是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．3．（理科学生做）已知是抛物线上两个动点，且直线与直线的倾斜角之和为，试证明直线过定点.4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形.14/14（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）设，过点的直线与椭圆C相交于两点，

6、当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线的斜率的取参考答案1．解：（Ⅰ）令当是增函数当是减函数∴（Ⅱ）（i）当时，，由（Ⅰ）知上是增函数，在上是减函数.又当时，所以，的图象在上有公共点，等价于解得.（ii）当时，上是增函数，∴,所以原问题等价于又∴无解说明：此题主要考查学生研究函数方法的运用：给函数解析式之后，能否通过研究函数的工具导数研究函数的变化趋势，通过研究函数在区间的端点处的函数值或符号进一步了解函数的准确的变化状态.此题也可以做如下引申：“若函数的图象与函数的图象在区间上有两个公共点，求实数a的取值范围.”14/142．解：（I），由得或.--单增极大值单减极小值单增所以，

7、的单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为．（II）由于，所以，．①当时，，即是方程的一个解.又因为，所以,方程在内至少有一个解.根据函数单调性可知，方程有两个不同的解.②当时，，即是方程的一个解.又因为，所以方程在内至少有一个解.根据函数单调性可知，方程有两个不同的解.③当时，，，所以方程在内至少有一个解．又由，知方程在内至少有一个解；由，知方程在内至少有一个解.根据函数单调性可知，方程有三个不同的解.说明