2008年摇篮杯高一数学竞赛测试试题【浙江省温州市】

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1、2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题本卷满分为150分，考试时间为120分钟题号一二三总分151617得分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。1．已知集合，集合，映射表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则以为坐标的点组成的集合有元素（）个。A．2B．4C．6D．82．设为△的边的中点，为△内一点，且满足：，则（）。A.B.C.D.3．在点O处测得远处质点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得，则（）。A．B．C．D．4．已知当时，函数取最大值，则函数图象的一条对称轴为（）。A．B．C．D．5

2、．已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（）。A．1B．2008C．D．40166．函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调函数，②存在使在上的值域为，那么就称为“好函数”。现有是“好函数”，则的取值范围是（）。A．B．C．D．7．如图，一个棱长为的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（）。A．B．C．D．8．若为完全平方数，则正整数n满足（）A．B．C．D．二、

3、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。得分评卷人9．已知向量满足，若，则.10．若数列中任意连续三项和都为正数，任意连续四项和都为负数，则项数的最大值为.11．如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去几个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,CC1=3.则这个多面体的体积为.12．把一根长为7米的铁丝截下两段（也可以直接截成两段），这两段的长度差不超过1米，分别以这两段为圆的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为平方米。13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、

4、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个子数列中，由1开始的第2008个数是.14．设，则函数的最小值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共54分。15．（本小题16分）已知函数.（1）求函数单调递增区间；（2）若，不等式的解集为B，，求实数的取值范围。16．(本小题满分18分)设,若,,.（1）求证：方程在区间（0，1）内有两个不等的实数根；（2）若都为正整

5、数，求的最小值。17．（本小题20分）在平面上有一系列点…，，对每个正整数,以点为圆心的⊙与轴及射线都相切，且⊙与⊙彼此外切．若,且（）．（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设数列的各项为正，且满足，求证：（3）对于（2）中的数列,当时，求证：2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（解答）本卷满分为150分，考试时间为120分钟题号一二三总分151617得分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。题号12345678得分评卷人答案1．已知集合，集合，映射表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则以为坐标的点组成的集合有元

6、素（C）个A．2B．4C．6D．8【分析】显然，∴有6组解，有6个元素，选C。2．设为△的边的中点，为△内一点，且满足,，则（C）A.B.C.D.【分析】如图∴四边形DPEB为平行四边形，，选C。3．在点O处测得远处质点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得，则（B）A．B．C．D．【分析】如图延长OB到D，使得BD=OB，则四边形OADC为平行四边形∴，又，则，，选B。4．已知当时，函数取最大值，则函数图象的一条对称轴为（A）A．B．C．D．【分析】∵当时，函数取最大值，∴解得：，∴，∴是它的一条对称轴，选A。

7、5．已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（B）A．1B．2008C．D．4016【分析】如图：是曲线与曲线交点A的横坐标，是曲线与曲线交点B的横坐标，∵函数与互为反函数，∴A与B关于直线y=x对称即为点A的纵坐标，∴，选B6．函数的定义域为D，若满足①在D内是单调函数，②存在使在上的值域为，那么就称为“好函数”。现有是“好函数”，则的取值范围是（C）A．B．C．D．【分析】因为函数在其定义域内为增函数，则若函数为“好函数”，方程必有两个不同实数根，∵，∴方程有两个不同的正数根，选C。7．如图，一个棱长为的立方体内有1个大球和8个小球，大球

8、与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截