资源描述：
《2015届高考文科数学第一轮复习教学计划5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二节函数的单调性与最值【考纲下载】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)＜f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)＞f(x2)．2．单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．3．函数的最值前提设函数f(x
2、)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值1．如果一个函数在定义域内的几个区间上都是增(减)函数，能不能说这个函数在定义域上是增(减)函数？提示：不能．如函数y＝在(0，＋∞)及(－∞，0)上都是减函数，但函数y＝在定义域上不是单调函数．2．当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，能否用“∪”将函数的单调增区间(减区间)连接起来？提示：不能直接用“∪”
3、将它们连接起来．如函数y＝的单调递减区间有两个：(－∞，0)和(0，＋∞)．不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)．1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )A．y＝3－x B．y＝C．y＝－x2＋4D．y＝
4、x
5、解析：选D 函数y＝3－x，y＝，y＝－x2＋4在(0,1)上都是减函数，y＝
6、x
7、在(0,1)上是增函数．2．(教材习题改编)如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则( )A．a＝－2B．a＝2C．a≤－2D．a≥2解析：选C 函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b
8、的对称轴为x＝，即函数f(x)的单调递减区间为.所以≥1，即a≤－2.3．若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是( )A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C 由题意知，函数f(x)为R上的减函数，且f1，即
9、x
10、<1且
11、x
12、≠0.∴x∈(－1,0)∪(0,1)．4．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．解析：因为函数y＝(2k＋
13、1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.答案：5．(教材习题改编)函数f(x)＝，x∈[2,6]．下列命题：①函数f(x)为减函数；②函数f(x)为增函数；③函数f(x)的最大值为2；④函数f(x)的最小值为.其中真命题的是________(写出所有真命题的编号)．解析：易知函数f(x)＝在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.方法博览(二)五招破解函数的最值问题1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c(a≠0)的最值问题，
14、可以考虑用配方法．[典例1] 已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．[解题指导] 将函数整理成关于ex＋e－x的一元二次函数，然后利用配方法求解．[解] y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，则t≥2，f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2.因为抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，所以当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2.[点评] 利用二
15、次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．2．单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后根据单调性求函数的最值．[典例2] 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．[解题指导] (1)先判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，然后求最值；(2)f(x)＞0恒成立⇔f(x)mi
16、n＞0.[解] (1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝.(2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f(1)＝a＋3.要使f(x
