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《2015年秋北师大版选修4-4数学:第2章《圆的参数方程》学案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2 圆的参数方程2.3 椭圆的参数方程2.4 双曲线的参数方程1.能依据圆锥曲线的几何性质,选择适当的参数,写出它们的参数方程.2.能利用圆锥曲线的参数方程来解决简单的实际问题.1.圆的参数方程(1)圆x2+y2=r2的参数方程是______________,参数α的几何意义是________________(O为坐标原点,P为圆上任意一点).(2)圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是__________________.参数α的几何意义是OP与x轴正方向的夹角(P为圆上任意一点,O为圆心).(3)圆的圆心在原点,半径为r,它与x轴负半轴的
2、交点为A(-r,0),点P(x,y)是圆周上任意不同于A的一点,此时,圆的参数方程是(k为参数).参数k的几何意义是直线AP的斜率.选取不同的参数,可以得到不同形式的圆的参数方程.其中(1)(2)两种形式可结合推导过程记忆,(3)了解就行.【做一做1-1】已知圆的方程为x2+y2=4x,则它的参数方程是__________.【做一做1-2】直线3x-4y-9=0与圆(θ为参数)的位置关系是( ).A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心2.椭圆的参数方程(1)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是________________.参数φ的几何
3、意义是以原点为圆心,a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x轴正半轴的夹角.(2)中心在点C(x0,y0),长轴平行于x轴的椭圆的参数方程是__________________.参数φ的几何意义是以C为圆心,以a为半径所作圆上一点P和椭圆中心C的连线CP与x轴正半轴的夹角.【做一做2-1】椭圆+=1的参数方程为__________.【做一做2-2】椭圆(φ为参数)的焦距是__________.3.双曲线的参数方程双曲线-=1(a>0,b>0)的参数方程是________________.【做一做3】已知某条曲线的参数方程为(a为参数),则该曲线是( )
4、.A.线段B.圆C.双曲线D.圆的一部分1.椭圆的参数方程中参数φ的几何意义剖析:从几何变换的角度看,通过伸缩变换,令椭圆+=1可以变成圆x′2+y′2=1.利用圆x′2+y′2=1的参数方程(φ是参数)可以得到椭圆+=1的参数方程(φ是参数).因此,参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为离心角),而不是OM的旋转角,如图.2.圆锥曲线的参数方程不是唯一的剖析:同一条圆锥曲线的参数方程形式是不唯一的.例如,椭圆+=1的参数方程可以是的形式,也可以是的形式,二者只是形式上不同而已,但实质上都是表示同一个椭圆.同样对
5、于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示,只是选取的参数不同,参数的几何意义也就不同.答案:1.(1)(α为参数) OP与x轴正方向的夹角 (2)(α为参数)【做一做1-1】(θ为参数,0≤θ<2π) x2+y2=4x可化为(x-2)2+y2=4,∴圆心为(2,0),半径r=2.∴参数方程为(θ为参数,0≤θ<2π).【做一做1-2】D 将圆的参数方程化为普通方程为x2+y2=4,所以圆心到直线3x-4y-9=0的距离d==<2,∴直线与圆相交.点(0,0)不在直线3x-4y-9=0上,故直线与圆相交但不过圆心.2.(1)(φ为参数) (2)(φ
6、为参数)【做一做2-1】(φ为参数) 根据题意,a=2,b=3,∴参数方程为(φ为参数).【做一做2-2】2 根据参数方程,可知a=3,b=2.∴c===,∴焦距为2c=2.3.(φ为参数)【做一做3】C题型一圆的参数方程的应用【例1】已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上,求x2+2xy+3y2的最大值和最小值.分析:利用参数方程,转化成三角函数的问题来解决.反思:利用参数方程求最值问题是其常见的应用,求解时注意三角公式的应用.题型二椭圆的参数方程的应用【例2】在平面直角坐标系xOy中,设P(x,y)是椭圆+y2=1上一个动点,求x+y的最大值.分析:
7、将普通方程化为参数方程,利用三角函数的相关知识求最值.反思:利用圆锥曲线的参数方程求最值问题,实质是利用三角函数求最值问题.题型三双曲线的参数方程的应用【例3】如图,设P为等轴双曲线x2-y2=1上的一点,F1,F2是两个焦点,证明
8、PF1
9、·
10、PF2
11、=
12、OP
13、2.分析:设P,证明等式两边等于同一个式子即可.反思:利用圆锥曲线的参数方程证明恒等式,方法简单、明确,有利于掌握应用.答案:【例1】解:圆x2+y2=1的参数方程为(α为参数).∴x2+2xy+3y2=cos2α+2cosαsinα+3sin2α=+sin2α+3×=2+sin2α-cos2α
14、=2+sin(2α-).则当α=kπ+(k∈Z)时,x2+2xy+3y2取最大值
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