2015年秋北师大版选修4-4数学：第2章《圆的参数方程》学案

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1、2.2　圆的参数方程2.3　椭圆的参数方程2.4　双曲线的参数方程1．能依据圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数，写出它们的参数方程．2．能利用圆锥曲线的参数方程来解决简单的实际问题．1．圆的参数方程(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程是______________，参数α的几何意义是________________(O为坐标原点，P为圆上任意一点)．(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程是__________________．参数α的几何意义是OP与x轴正方向的夹角(P为圆上任意一点，O为圆心)．(3)圆的圆心在原点，半径为r，它与x轴负半轴的

2、交点为A(－r,0)，点P(x，y)是圆周上任意不同于A的一点，此时，圆的参数方程是(k为参数)．参数k的几何意义是直线AP的斜率．选取不同的参数，可以得到不同形式的圆的参数方程．其中(1)(2)两种形式可结合推导过程记忆，(3)了解就行．【做一做1－1】已知圆的方程为x2＋y2＝4x，则它的参数方程是__________．【做一做1－2】直线3x－4y－9＝0与圆(θ为参数)的位置关系是(　　)．A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心2．椭圆的参数方程(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程是________________．参数φ的几何

3、意义是以原点为圆心，a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x轴正半轴的夹角．(2)中心在点C(x0，y0)，长轴平行于x轴的椭圆的参数方程是__________________．参数φ的几何意义是以C为圆心，以a为半径所作圆上一点P和椭圆中心C的连线CP与x轴正半轴的夹角．【做一做2－1】椭圆＋＝1的参数方程为__________．【做一做2－2】椭圆(φ为参数)的焦距是__________．3．双曲线的参数方程双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的参数方程是________________．【做一做3】已知某条曲线的参数方程为(a为参数)，则该曲线是(　　)

4、．A．线段B．圆C．双曲线D．圆的一部分1．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义剖析：从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令椭圆＋＝1可以变成圆x′2＋y′2＝1.利用圆x′2＋y′2＝1的参数方程(φ是参数)可以得到椭圆＋＝1的参数方程(φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为离心角)，而不是OM的旋转角，如图．2．圆锥曲线的参数方程不是唯一的剖析：同一条圆锥曲线的参数方程形式是不唯一的．例如，椭圆＋＝1的参数方程可以是的形式，也可以是的形式，二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆．同样对

5、于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也就不同．答案：1．(1)(α为参数)　OP与x轴正方向的夹角　(2)(α为参数)【做一做1－1】(θ为参数，0≤θ＜2π)　x2＋y2＝4x可化为(x－2)2＋y2＝4，∴圆心为(2,0)，半径r＝2.∴参数方程为(θ为参数，0≤θ＜2π)．【做一做1－2】D　将圆的参数方程化为普通方程为x2＋y2＝4，所以圆心到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝＜2，∴直线与圆相交．点(0,0)不在直线3x－4y－9＝0上，故直线与圆相交但不过圆心．2．(1)(φ为参数)　(2)(φ

6、为参数)【做一做2－1】(φ为参数)　根据题意，a＝2，b＝3，∴参数方程为(φ为参数)．【做一做2－2】2　根据参数方程，可知a＝3，b＝2.∴c＝＝＝，∴焦距为2c＝2.3．(φ为参数)【做一做3】C题型一圆的参数方程的应用【例1】已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，求x2＋2xy＋3y2的最大值和最小值．分析：利用参数方程，转化成三角函数的问题来解决．反思：利用参数方程求最值问题是其常见的应用，求解时注意三角公式的应用．题型二椭圆的参数方程的应用【例2】在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆＋y2＝1上一个动点，求x＋y的最大值．分析：

7、将普通方程化为参数方程，利用三角函数的相关知识求最值．反思：利用圆锥曲线的参数方程求最值问题，实质是利用三角函数求最值问题．题型三双曲线的参数方程的应用【例3】如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2是两个焦点，证明

8、PF1

9、·

10、PF2

11、＝

12、OP

13、2.分析：设P，证明等式两边等于同一个式子即可．反思：利用圆锥曲线的参数方程证明恒等式，方法简单、明确，有利于掌握应用．答案：【例1】解：圆x2＋y2＝1的参数方程为(α为参数)．∴x2＋2xy＋3y2＝cos2α＋2cosαsinα＋3sin2α＝＋sin2α＋3×＝2＋sin2α－cos2α

14、＝2＋sin(2α－)．则当α＝kπ＋(k∈Z)时，x2＋2xy＋3y2取最大值