高中数学北师大版选修1-2第三章《推理与证明》（章末小结）精品学案

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1、第三章章末小结　　问题1:推理一般包括　合情推理　和　演绎推理　,它们都是日常学习和生活中经常应用的思维方法,合情推理包括　归纳推理　和　类比推理　,具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方向的作用;演绎推理则具有证明结论,整理和构建知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法. 问题2:　三段论　是演绎推理的主要形式,三段论的公式包括三个判断:第一个判断是　大前提　,它提供了一个一般性的原理;第二个判断是　小前提　,它指出了一种特殊情况,这两个判断联合起来,提示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断——　结论　. 问题3:　分析法　和　综合法　是直接证明中最基本

2、的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维方式;　反证法　是间接证明的一种基本方法,也是解决某些“疑难”问题的有力工具. 问题4:解答证明题时,要注意是采用直接证明还是间接证明.直接证明时,　综合法　和　分析法　往往可以结合起来使用.综合法的使用是“　由因索果　”,分析法证明问题是“　执果索因　”,它们是两种思路截然相反的证明方法,分析法便于寻找解题思路,而综合法便于叙述,因此往往联合使用.分析法要注意叙述的形式:要证A,只要证明B,B应是A成立的充分条件. 题型1:与数列结合的推理问题在数列{an}中,a1=1,an+1=,n∈N+,猜想这个数列的通项公式是什么?这个猜想正确吗?说

3、明理由.【方法指导】先写出数列的前几项,寻找项与项数之间的关系,再作出猜想,最后证明.【解析】在数列{an}中,a1=1,a2==,a3===,a4==,…,所以猜想{an}的通项公式an=.这个猜想是正确的.证明如下:因为a1=1,an+1=,所以==+,即-=,所以数列{}是以=1为首项,为公差的等差数列,所以=1+(n-1)=n+,所以数列{an}的通项公式an=.【小结】归纳推理的常见形式:一是“具有共同特征型”,二是“递推型”,三是“循环型”(周期性),本题是根据数列的前几项,猜测数列的通项公式,属于第一类型;这种猜测不一定正确,需进一步证明.题型2:与立体几何结合的推理问题

4、在△ABC中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC的外接圆半径r=,把上面的结论推广到空间,写出相类似的结论.【方法指导】得出类比结论四面体与三角形对应立体几何中的平面与平面几何中的直线对应寻找类比对象【解析】取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A-BCD,且AB=a,AC=b,AD=c,可以将四面体补成一个长方体,则对角线长即为外接球的直径,即2R=,即R=,则此三棱锥的外接球的半径R=.【小结】此题考查的是平面到空间的类比推广.解答这类题目不能只满足结论形式上的相似,还必须是真命题,结论的推导还是要从平面结论下手,一般在推导空间的结论时要用到平面的结论,或利用类似平面结论推

5、导的方法,如等面积类比等体积,直线类比平面,等等.题型3:与三角结合的证明问题证明:=-.【方法指导】要证明=成立,可证AD=BC,因此在证明本题时,可以先将右侧进行通分,然后证明其对应的“AD=BC”成立.【解析】(法一)分析法要证原式成立,即证=成立;(1)当cosα=sinα时,上式显然成立,故原式成立;(2)当cosα≠sinα时,即证2(1+sinα)(1+cosα)=(1+sinα+cosα)2,即证2+2sinα+2cosα+2sinαcosα=1+sin2α+cos2α+2sinα+2cosα+2sinαcosα,即证1=sin2α+cos2α成立,显然成立,故原式成立

6、.(法二)综合法∵1=sin2α+cos2α,∴2+2sinα+2cosα+2sinαcosα=1+sin2α+cos2α+2sinα+2cosα+2sinαcosα,∴2(1+sinα)(1+cosα)=(1+sinα+cosα)2,∴=,故原式成立.【小结】方法一用了分析法,思路清晰、简洁;方法二利用的是综合法,它建立在方法一的基础上,描述简洁.题型4:用反证法证明问题用反证法证明:若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,那么方程f(x)=0在区间[a,b]上至多只有一个实数根.【方法指导】得出正确结论化简推出矛盾假设结论不成立用反证法证明【解析】假设方程f(x)=0在区间[a,

7、b]上至少有两个根,设α,β为其中的两个实根,因为α≠β,不妨设α>β,又因为函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,所以f(α)>f(β).这与假设f(α)=f(β)=0矛盾,所以方程f(x)=0在区间[a,b]上至多只有一个实数根.【小结】(1)当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时,常用反证法.(2)用反证法证明的步骤:①否定结论⇒A⇒B⇒C.②而C不合理③因此结论成立.1.(2012年·全国卷)正方形ABCD的边长为1,点