高中数学 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案 新人教a版必修4

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1、课题2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目标知识与技能理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，过程与方法能根据向量的坐标计算向量的模，情感态度价值观并推导平面内两点间的距离公式重点能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直难点能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算．教学设计教学内容教学环节与活动设计1．平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.即两个向量的数量积等于．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2

2、)，则a⊥b⇔.3．平面向量的模(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则

3、a

4、＝__________.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

5、

6、＝_________________________.4．向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝_______＝________________.探究点一　平面向量数量积的坐标表示问题　已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b?

7、探究点二　平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式问题1　若a＝(x，y)，试用x，y表示

8、a

9、.教学内容教学环节与活动设计探究点三　平面向量夹角的坐标表示设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cosθ＝＝.特别地，若a⊥b，则有；反之，若，则a⊥b.例如，(1)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为_____．(2)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是_____三角形．【典型

10、例题】例1　已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．例2　已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角

11、；(3)a与b的夹角为锐角．解　设a与b的夹角为θ，则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cosθ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cosθ<0且cosθ≠－1，所以a·b<0且a与b不反向．由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－，由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．所以λ的取值范围为.(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cosθ>0，且cosθ≠1，所以a·b>0且a，b不同向．由a·b>0，得λ>－

12、，由a与b同向得λ＝2.－教教学内容教学环节与活动设计学设计所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．例3　已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，1)，AD为BC边上的高，求

13、

14、与点D的坐标．解　设D点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，∵D在直线BC上，即与共线，∴存在实数λ，使＝λ，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．∴.∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.又∵AD⊥BC，∴·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0

15、，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.由①②可得，∴

16、

17、＝＝，教学小结向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．课后反思