高中数学《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教案 新人教a版必修4

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1、第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的:⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式.⑶能用所学知识解决有关综合问题.教学重点:平面向量数量积的坐标表示教学难点:平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型:新授课教具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.C2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量

2、a

3、

4、

5、b

6、cosq叫a与b的数量积,记作a×b,即有a×b=

7、a

8、

9、b

10、cosq,(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.3.向量的数量积的几何意义:数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影

11、b

12、cosq的乘积.4.两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.1°e×a=a×e=

13、a

14、cosq;2°a^bÛa×b=03°当a与b同向时,a×b=

15、a

16、

17、b

18、;当a与b反向时,a×b=-

19、a

20、

21、b

22、.特别的a×a=

23、a

24、2或4°cosq=;5°

25、a×b

26、≤

27、a

28、

29、b

30、5.平面向量数量积的

31、运算律交换律:a×b=b×a数乘结合律:(a)×b=(a×b)=a×(b)分配律:(a+b)×c=a×c+b×c二、讲解新课:⒈平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量,,试用和的坐标表示.设是轴上的单位向量,是轴上的单位向量,那么,所以又,,,所以这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即2.平面内两点间的距离公式一、设,则或.(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、,那么(平面内两点间的距离公式)二、向量垂直的判定设,,则三、两向量夹角的余弦()cosq=四、讲解范例:五、设a=(5

32、,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)例2已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.例3已知a=(3,-1),b=(1,2),求满足x×a=9与x×b=-4的向量x.解:设x=(t,s),由∴x=(2,-3)例4已知a=(1,),b=(+1,-1),则a与b的夹角是多少?分析:为求a与b夹角,需先求a·b及|a|·|b|,再结合夹角θ的范围确定其值.解:由a=(1,),b=(+1,-1)有a·b=+1+(-1)=4,|a|=2,|b|=2.记a与

33、b的夹角为θ,则cosθ=又∵0≤θ≤π,∴θ=评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定.例5如图,以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角△OAB,使ÐB=90°,求点B和向量的坐标.解:设B点坐标(x,y),则=(x,y),=(x-5,y-2)∵^∴x(x-5)+y(y-2)=0即:x2+y2-5x-2y=0又∵

34、

35、=

36、

37、∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2即:10x+4y=29由∴B点坐标或;=或例6在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k值.解:当A=90°时,×=

38、0,∴2×1+3×k=0∴k=当B=90°时,×=0,=-=(1-2,k-3)=(-1,k-3)∴2×(-1)+3×(k-3)=0∴k=当C=90°时,×=0,∴-1+k(k-3)=0∴k=一、课堂练习:1.若a=(-4,3),b=(5,6),则3

39、a

40、2-4a·b=()A.23B.57C.63D.832.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量,则b等于()A.或B.或C.或D.或4

41、.a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)·(a-b)=.5.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P(x,-)在线段AB的中垂线上,则x=.6.已知A(1,0),B(3,1),C(2,0),且a=,b=,则a与b的夹角为.一、小结(略)二、课后作业(略)三、板书设计(略)四、课后记:

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