高中数学北师大版选修2-2第2章 拓展资料：计算导数例析

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1、www.ks5u.com计算导数例析　　导数的方法涉及导数定义、常用求导公式、四则运算法则和复合函数求导法则等求导方法，因此重点应为导数的概念与计算，学习时应熟练掌握以下求导法：直接利用法则与公式求导、复合函数求导．在求导过程中应熟记导数公式与运算法则，重点掌握复合函数的求导方法.　　学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。举例说明如下.　　例1　求下列函数的导数　　（1）；　（2）；　　（3）；　（4）y=tanx。　　解　（1）；　　（2）

2、　　∴　　或利用函数的积的求导法则：　　　　（3），　　∴　　（4），　　∴.　　例2　求下列函数的导数：　　.　　分析：从这两个函数的形式结构来看，都是商的形式，如果直接套用商的求导法则，运算量较大，但从形式上看，可以转化为和的形式.　　解：（1）　　　　（2）　　点评：（1）不加分析，盲目套用公式，会给运算带来不便，甚至错误，如（2）的求导形式较为复杂，用商的求导法则之后，还需通分化简.　　（2）先化简，再求导实施求导运算的基本方法，是化难为易、化繁为简的基本原则和策略．　　例3　求下列函数的导数　　（1）；　（2）；　　（3）；　（4）。　　解　（1），　　∴　　

3、（2）　　　，　　∴　　（3），　　∴　　（4）　　　　∴.　　点拨　对于较复杂的函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则。　　例4　利用导数求和：　　（1）；　　（2）。　　分析　这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。　　解　（1）当x=1时，　　；　　当x≠1时，　　∵，　　两边都是关于x的函数，求导得　　　　即　　（2）∵，　　两边都是关于x的函数，求导得。　　令x=1得　　，　　即。　　例5　如果函数f(x)=ax5－bx3＋c（a≠0）在x=±1

4、时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a，b，c的值.　　分析　可通过求导确定可疑点，注意利用已知极值点x=±1所确定的相关等式，在判断y′的符号时，必须对a进行分类计论.　　解答　y′=5ax4－3bx2，令y′=0，即5ax4－3bx2=0,x2(5ax2－3b)=0，　　∵x=±1是极值点，∴5a(±1)2－3b=0.　　又x2=0，∴可疑点为x=0，x=±1.　　若a>0，y′=5ax2(x2－1).　　当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞,－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,＋∞)y′＋0－0－0＋y↗极大↘无极值↘极小↗　　由上表可知，当x=

5、－1时，f(x)有极大值，当x=1时，f(x)有极小值.　　　　若a<0时，同理可知a=－3，b=－5，c=2.　　点评　运用待定系数法，从逆向思维出发，实现了问题由已知向未知的转化．在转化过程中，利用了列表，解决了待定系数的问题．