运用全等三角形证题的基本思路

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1、运用全等三角形证题的基本思路　运用全等三角形能够证明若干与线段或角有关的几何问题．那么如何证明两个三角形全等呢？一般来说，应根据题设条件，结合图形寻求边或角相等，使之逐步逼近某一判定公理或定理，其基本思路有：一、有两边对应相等，则寻求夹角或第三边对应相等．例1已知：如图1，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，求证：BD＝CE．分析：要证明BD＝CE，只要证明△ABD≌△ACE．因为已知条件已给出了有两边对应相等，所以只需证明这两边的夹角也相等，即∠BAD＝∠CAE．而根据图形和已知条件“∠1＝∠2”，即可获证．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAC＝∠

2、2＋∠BAC，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），故BD＝CE．例2已知：如图2，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC，求证：AB∥DF．分析：要证明AB∥DF，只要证明∠B＝∠F，由于∠B、∠F分别在△ABC和△DFE中，这就要证明△ABC≌△DFE，因为已知条件给出了两边对应相等，所以可证明两个三角形的第三条边对应相等，即BC＝FE，而根据图形和已知条件“BE＝FC”，即可获证．证明：∵BE＝FC，∴BE＋EC＝FC＋CE，即BC＝FE．在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SSS），∴∠B＝∠F，

3、故AB∥DF．二、有两角对应相等，则寻求夹边或任一等角的对边对应相等．例3已知：如图3，AB∥CD，AD∥BC．求证：AB＝CD，AD＝BC．分析：要证明AB＝CD，AD＝BC，只要连结AC，证明△ABC≌△CDA，因为已知条件告诉AB∥CD，AD∥BC，这就等于告诉∠1＝∠2，∠3＝∠4，而AC又是它们的夹边，则问题获证．证明：连结AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA（ASA），故AB＝CD，AD＝BC．例4已知：如图4，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＝CD．分析：要证明BE＝C

4、D，只要证明△BCE≌△CBD，在这两个三角形中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，而∠1的对边是BC，∠2的对边是CB，且有BC＝CB，则问题获证．证明：在△BCE和△CBD中，∴△BCE≌△CBD（AAS）故BE＝CD．三、有一边和该边的对角对应相等，则寻求另一角对应相等．例5已知：如图5，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足为D、E．求证：BD＝AE．分析：要证明BD＝AE，只要证明△ABD≌△CAE，现有条件是一边和该边的对角对应相等，则还需再证明另一角对应相等，而不难发现∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠

5、3＝90°，所以∠1＝∠3，则问题获证．证明：∵BD⊥MN，CE⊥MN，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°．∵∠2＋∠3＝90°．∴∠1＝∠3．在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），故BD＝AE．四、有一边和该边的邻角对应相等，则寻求夹等角的另一边对应相等，或另一角对应相等．例6已知：如图6，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝45°，E是AC上一点，延长BC到D，使CD＝CE．求证：BF⊥AD．分析：要证明BF⊥AD．只要证明∠1＋∠2＝90°，这时∠AFE＝90°，又∠3＋∠4＝90°，∠

6、2＝∠3，那么只需证明∠1＝∠4，这时只要证明△ACD≌△BCE，在这两个三角形中，已知有一边和该边的邻角对应相等，只要证明CA＝CB，此时条件中有∠CBA＝45°，可得到CA＝CB，则问题获证．证明：∵∠ACB＝90°，∠CBA＝45°，∴CA＝CB．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠1＝∠4．∵∠4＋∠3＝90°，∠3＝∠2．∴∠1＋∠2＝90°，故BF⊥AD．例7已知：如图7，AB＝AC，∠B＝∠C，∠1＝∠2，求证：AD＝AE．分析：要证明AD＝AE，只要证明△ABD≌△ACE，由已知条件知，有一边和该边的邻角对应相

7、等，只要再证明另一角对应相等，此时有∠1＝∠2，可得∠BAD＝∠CAE，则问题获证．证明：∵∠1＝∠2．∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（ASA），故AD＝AE．五、对于直角三角形来讲，则优先考虑运用“斜边、直角边公理”，当此路不通时，再回到上述思路中去．例8已知：如图8，AD⊥DB，BC⊥CC，AC＝BD，求证：AD＝BC．分析：要证明AD＝BC，只要证明△ADB≌△BCA，而这两个三角形是直角三角形，可考虑运用“斜边、直角边公理”证明，此时由题设条件AC＝BD，结合图形AB＝BA

8、，则问题获证．证明：∵AD⊥DB，BC⊥CA，∴△ADB和△BCA都是直角三角形，在Rt△ADB和Rt△BC