高中数学 1.2.2 同角三角函数的基本关系素材2 新人教a版必修4

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1、1.2.2同角的三角函数的基本关系重点：基本关系式及其应用.难点：基本关系式的特征及推导.一、求角的正弦值、余弦值、正切值这类问题是已知某角的某个函数值，求该角的其它函数值.例1已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．【分析】讨论α分别在第二、三象限求值.【解】　∵cosα<0且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限角．当α为第二象限角时，sinα＝＝＝，tanα＝＝－.当α为第三象限角时，sinα＝－＝－＝－，tanα＝＝.【点评】已知角α的某一三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组

2、结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论.二、三角函数式的化简与求值所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的要求值.例2(1)化简；(2)已知tanα＝－2，求下列各式的值：①；②sin2α＋cos2α.【分析】对（1）把被开方数变形为平方形式.（2）把弦化为“切”的形式.【解】　(1)＝＝＝＝－1.(2)法一：由tanα＝－2，得sinα＝－2cosα.①＝＝10.②sin2α＋cos2α＝＝＝.法二：∵tanα＝－2，∴cosα≠0.①＝＝＝10.②

3、sin2α＋cos2α＝＝＝.【点评】法一利用已知条件将sinα全部化为cosα，从而得到各式的值，可以说是运用了“减少变量”的思想.而法二是将关于sinα,cosα的齐次式（所谓关于sinα、cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα、cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次）分子分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，根据已知条件再解决所求问题就简单得多.同时，要注意“1”的代换，如“1=sin2α+cos2α”.三、证明三角关系式三角关系式的证明就是由三角关系的化简推导出等式是成立的.例3求证：＝.【分析】可由右向左证，也可

4、由左向右证，也可两边同时切化为弦来证明，或者可证明sin2α·tan2α=tan2α-sin2α成立.【证明】　法一：右边＝＝＝＝＝＝左边，∴原等式成立．法二：左边＝＝，右边＝＝＝＝＝，∴左边＝右边，原等式成立．法三：∵tanα－sinα≠0，tanα·sinα≠0，要证原等式成立，只要证tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立．而tan2α·sin2α＝tan2α(1－cos2α)＝tan2α－(tanαcosα)2＝tan2α－sin2α，即tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立，∴原等式成立．【点评】证明三角恒等式的实质是消除等式两边

5、的差异，就是有目的的化简，根据不同题型，可采用恰当方法证明.利用同角三角函数的基本关系式主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法，特别要注意平方关系的应用.