课程5︰投资组合理论 第三单元最佳的风险投资组合

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1、15.433投資學課程5︰投資組合理論第三單元：最佳的風險投資組合2003年春季班簡介在決定對暴露在風險下的接受程度之後，投資者下一個任務就是建造他的風險投資組合rp。這種選擇將從風險資產全領域中制定，這種選擇對於投資者相當有用。風險資產的領域有多大？我們生活在令人興奮的時代，有著寬廣的投資環境。以下是一份由RiskMetrics所報導相當平凡工具的清單；資料來源︰RiskMetricsTM技術手冊股票指數：31個國家外匯匯率：31個國家全球貨幣市場：111全球換匯：121全球政府債券：153商品：33超過400種不同工具。這還不包括個別的股票、共同基金、創投資金、期

2、貨、選擇權，和其他衍生性金融商品…。全世界股票指數1.波動率數據以每日收盤價計算。ACWIF為所有國家世界自由指數。註記︰「自由」指數使用於自由指數存在(外資投資管制較少)的地方。EMF是新興市場自由指數。EAFE為國際資本指數涵蓋歐洲、亞洲和遠東地區。資料來源：摩根史坦利量化投資策略兩個風險性資產1.r1μ1=13%,σ1=20%2.r1μ2=8%,σ2=12%3.關聯的報酬：ρ=corr(r1,r2)=30%混合風險性資產•w的部份在股票上•1-w的部份在借款上•風險投資組合rp=w．r1+(1–w)．r2圖4︰效率前緣風險的投資組合讓我們首先計算風險投資組合的平

3、均值和變異數︰μP=wμ1+(1–w)．μ2(1)σ22222p=w．σ1+(1–w)．σ2+2．w．(1–w)．cov(r1,r2)(2)=w2．σ2221+(1–w)．σ2+2．w．(1–w)．σ1σ2ρ1,2(3)展開平均－風險水準空間：圖5︰效率前緣最佳化的投資組合問題投資機會•無風險rf•兩個風險性資產r1及r2最佳投資組合的投資者11u(r)=E(r)–．A．var(r)+．B．E(r–E(r))3(4)26投資決策1.選擇風險總曝露值在風險資產rf為y，在無風險資產rf為(1–y)2.選擇正確的風險投資組合rp：在r1為w，在r2為(1–w)可能的投資組

4、合ry;w=(1–y)．rf+y．(w．r１+(1–w)．r2)(5)最佳想的投資組合(6)分離原則除了選擇控制投資者的風險總曝露值變量y之外，我們當今的問題也涉及控制風險資產正確組合的變量w有關。併發症︰需要在最佳化問題中同時地解決y和w︰解答：分離原則(詹姆士•托賓1958)︰•總風險曝露選擇y，是投資者特有的，取決於其對風險的規避程度；•最佳的風險投資組合選擇w，對全部投資者都是一樣的。資本分配線(CAL)簡短的回顧圖6︰效率前緣挑取任何風險投資組合rp，投資一部分y在它身上，其餘投資在無風險帳上rf。E-std組合的可能會什麼？E(ry)–rfE(ry)–rf

5、=std(ry)(8)std(rp)夏普指數簡短的回顧圖7︰效率前緣測量一個投資組合r的吸引力就是它的夏普比率︰E(r)–rfS=(13)std(r)該圖表的解釋了什麼？最理想的風險投資組合圖8︰效率前緣每一條資本分配線(CAL)唯一鑑定的方法就是它的坡度。最好的資本分配線(CAL)是具最陡峭的坡度或具最高的夏普比率。最佳的風險投資組合是位於切點的投資組合(TangencyPortfolio)︰唯一具有最高夏普比率的投資組合。概念上，請注意最佳風險投資組合的定義並不涉及任何個別投資者的風險規避程度，這是非常重要的。在一個這樣理想的世界中，每位投資者，不管他的風險規避水

6、準，在最佳的資本分配線(CAL)上意見一致，並且在rf和最佳的風險投資組合之間，配置他的財產。一部份y投資在最佳風險投資組合上，不過，將取決於每個投資者的風險規避程度，如課程3所討論的。不過，實際上，不同的投資者對於他們的最佳風險投資組合，會有非常不同的想法。為什麼？複合風險資產只有兩個風險性資產產生的機會集合相對地簡單多了。就如同我們對複合風險性資產的情況一般化一樣，機會集合變得錯綜複雜得多了。假定我們有n種證券，它們的隨機報酬記成r1,r2,…,rn。跟往常一樣，我們透過組合這些n種證券建構投資組合︰rp=w1．r1+w2．r2+…+wn．rn(10)w是投資組合

7、權重，總計為1。每一個選擇w引發一次投資機會，以：nw(rp)=Σwi．E(ri)(11)i=1nnvar(rp)=ΣΣwi．wj．cov(ri,rj)(12)i=1j=1n1covi,j=Σ同等權重(13)ni=1ncovi,j=ΣPt．機率性權重(14)i=1結果產出一個巨大的自由度，以及一個充滿機會的集合。當然，並非全部在機會集合中的投資組合，都是好的交易。建構最佳投資組合效率前緣︰投資組合的效率集合，對於任何目標收益率，達到最低的可能風險。實際上的最佳投資組合分離原則的意涵︰一位投資組合經理人將為所有客戶提供相同的風險投資組合。實際上，不同的