课程4︰投资组合理论

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1、15.433投资学课程4︰投资组合理论第二单元：延伸2003年春季班简介有更长投资期间的投资者，应该投资更多在股票交易市场吗？在动态再平衡中有价值吗？市场崩盘市场崩盘的冲击除了对期望平均值和变异产生影响之外，还更进一步的影响投资者行为？长期资本管理公司(LTCM)的一天在1998年8月17日，俄罗斯不履行其本地借贷。格林威治中央标准时间8月21日，星期五，在长期资本管理公司︰「当他看见为美国换汇利差的报价，他用怀疑的眼光看着他的萤幕。在一个交易日中，美国换汇利差可能只有在一个基本点之内变动。但是在今天早晨，换汇利差在20点的

2、范围内疯狂地振荡。」「星期五，买进吗？每一个结算期项看起来到处都在损失金钱。信用利差容易地激增？虽然这些跳动从绝对价格来看似乎很小，但对多头的影响呢？结算期被基金的杠杆效能水准，及其无限部位规模所扩大。」「已经由数学确实地计算的长期项，它不可能在任何一天之中损失超过3500万美元，就在8月的那一个星期五，就损失5亿5300万美元。」摘自罗杰‧罗温史丹所着：「天才失败时」厚尾图11：标准普尔500指数日报酬分布的左侧厚尾，左端的5%图11：标准普尔500指数日报酬分布的右侧厚尾，右端的5%量化厚尾的偏度偏度E(x–E(x))3

3、Skew=(1)std(x)3峰度E(x–E(x))4Kurt=(1)std(x)4标准常态的偏度是什么？图3：标准常态分配的偏度，splus。标准常态的峰度是什么？注意︰偏度和峰度对一些随机变数而言可能不存在。事件风险的模型日报酬r︰r=x+yx是「常态」成分y是「暴增」成分J机率为py｛＝0机率为1-px和y是各自独立崩盘模型的动差平均值E(r)=μ+J．p(3)变异数var(r)=σ2+J2．p．(1–p)(4)偏度skew(r)=(5)崩盘模型的偏度模式PJskew一月一次1/12-2%-1.0一年一次1/365-1

4、0%-5.6一生一次1/365/100-50%-7.1将每一个激增模型一致化，得到年期望报酬为12%，且年波动性为15%。即，来自3个模型的报酬，对一个最佳投资组合的投资者具同样的吸引力！偏度的偏爱效用函数以3个切入点捕获投资者的风险态度︰11u(r)=E(r)–．A．var(r)+．B．E(r–E(r))3(5)261.期望的报酬是令人向往的；2.报酬的变异是不受欢迎的(A>0)；3.正向的偏度是令人向往的，负向的偏度是不受欢迎的(B>0)。如果我们设B=0，我们又回到一个最佳投资组合的投资者。修正原始的问题我们的原始问题

5、的两个修改︰1.投资者对偏度有所偏好：11u(r)=E(r)–．A．var(r)+．B．E(r–E(r))3(7)262.风险资产rp为负向的偏斜：skew=–2最佳化问题︰(8)跟往常一样，rp为投资组合的报酬：ry=(1–y)．ry+y．rp(9)格式化问题跟以前一样，我们计算投资者的效用U(ry)，其投资其小部份的财产y在风险性资产rp中，其余投资在无风险帐户rf︰ry=rf+y．(rp–rf)(10)两个U(ry)熟悉的部份：E(r22y)=0.07+0.08．y;var(ry)=0.22．y(11)两个U(ry)新

6、的部份：E(r333y–E(ry))=y．Ep–E(rp)(12)回想该定义E(x–E(x))3=skew(x)．std(x)3(13)因此我们获得E(r333y–E(ry))=0.22．(–2)．(y)(12)最佳化核心组合U(ry)的三个片段，我们以数学术语来描写我们的最优化问题︰(15)11·B·0.223·(-2)·yf(y)=0.07+0.08·y–·A·0.222+(16)326在我们的原始问题中，f(y)是y的线性二次方程式。现在如何？最佳化：解析法数学上的基础：•设y*为f’(y)=0的解•设f’’(y*)<

7、0，然后y*才是真正的最佳解。让我们做一些延伸：1f'(y)=0.08–0.222．A．y+．0.223．(-2)．B．y2(17)21f''(y)=–0.222．A+．0.223．(-2)．B．y(18)2你认为呢？我们要如何寻找最佳的y*？它真的存在吗？最佳化：图解法图4︰风险规避及最佳化权重变异规避系数设定为A=4，而偏度偏好设定为B=5。最佳投资组合权数为y*=0.37。回想，给予相同的选择集合(rp和rf)，一位具A=4最佳投资组合的投资者，将投资y*=0.41。最佳配置的决定因素什么是我们已知的？1.一位更倾向规

8、避变异的投资者，倾向较少投资在于风险性资产上︰A↑⇒y*↓2.赋予更高的风险溢酬，一位风险规避的投资者会投资更多在风险性资产上︰(E(rp)–rf)↑⇒y*↑3.给予相同的风险溢酬，如果风险性资产变得更不稳定，一位风险规避的投资者，将降低他对风险性资产的持股︰std(rp)↑⇒y*↓新的结