利用求导”解决物理问题

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1、利用“求导”解决物理问题在“考试大纲”中指出了物理学科5个方面的能力要求，其中第4个能力要求是：应用数学处理物理问题的能力。表明数学知识在物理问题的解决过程中占有重要的地位。一、发现问题1、题目如图1所示，真空中，带电荷量分别为+Q和-Q的点电荷A、B相距r，则（1）两点电荷连线的中点O的场强多大？（2）距A、B两点都为r的O/点的场强如何？[解析]分别求出+Q和-Q在某点的场强的大小和方向，然后根据电场强度的叠加原理，求出合场强。（1）如图2所示，A、B两点电荷在O点产生的场强方向相同，由AB，A、B两点电荷在O点产生的电场强度，EA=EB==故O

2、点的合场强为EO=2EA=，方向由AB。（2）图3所示，EA/=EB/=，由矢量图所形成的等边三角形可知，O/点的合场强EO/=EA/=，方向与A、B的中垂线垂直，即EO/与EO同向。[结论]在等量异种电荷连线的垂直平分线上，中点的场强最大，两边成对称分布，离中点越远，场强越小，场强的方向都相同，都是正电荷指向负电荷的方向。1、思考（1）本题中通过O点、O/点场强大小的比较得出了上面的结论。我们对结论作如下的证明：如图4所示，设A、B连线中垂线上有一点C，AC、BC与AB的夹角都为θ，根据点电荷场强公式有EA=EB=，方向如图。由矢量合成可得EC=2

3、EAcosθ=(cosθ)3，由于cosθ在（-，0）区间内为增函数，在（0，）区间内为减函数，即EC在θ=0时取得最大值，在（-，）区间内θ的取值离0越远，EC的取值越小。（2）A、B连线上的场强如何分布？二、利用“求导”解决问题如图5所示，在A、B连线上任取一点D，设AD=l，则BD=r-l，根据点电荷场强公式有EA=，EB=，EA、EB场强方向相同，有ED=EA+EB=kQ[+]设y=+，求导得y/=-2l-3+2(r-l)-3令y/=0则y有极值，所以l=时y取得极值。如果进行二次求导，可根据二次导数的正、负来判断y取得的是极大值还是极小值。

4、高中阶段不研究二次求导，不妨可以在0

5、点及无穷远处场强为零，因此当在（-，）内θ=±arcsin时EF取得最大值。三、“求导”应用1、求极值如图7所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点，从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点，求：（1）推力对小球所做的功（2）x取何值时，完成上述运动用力最小？最小力为多少？[解析]（1）质点在水平面上做匀加速直线运动，根据动能定理有Fx=mvB2-0①质点沿半圆轨道由B点运动到C点，只有重力做功-2mgR=mvC2-mvB2②质点由C点运动到A点过程中

6、，做平抛运动水平方向vC•t=x③竖直方向gt2=2R④联立①、②、③、④可得W=Fx=⑤根据竖直平面圆周运动的临界条件，有vC≥所以得x≥2R（2）根据⑤式得F=x+⑥求导得F/=-⑦当F/=0时，F有最小值代入⑦式解得x=4R（x=-4R，舍）⑧把⑧式代入⑥式得F=mg即当x=4R时，F取得最小值Fmin=mg1、确定做简谐运动质点的运动状态如图8所示，为一质点的简谐运动图象，根据交流电瞬时值表达式可得质点的位移随时间的变化关系为y=Asinωt(ω=rad/s)对该式求导得y/=Aωcosωt根据导数的定义可知，位移对时间的导数为质点的速度，所

7、以v=Aωcosωt根据此式可求得任一时刻质点运动的速度，并可做出速度图象，如图9所示。再求速度对时间的导数，可得加速度随时间的变化关系a=-Aω2sinωt可得任一时刻质点的加速度，质点的加速度随时间的变化图象如图10所示。此外，还有动量对时间的导数为质点所受的合外力；磁通量对时间的导数为感应电动势；动能对位移的导数为质点所受的合外力；系统的动能对相对位移的导数为系统内的摩擦力；在含有电容器的电路中，电容器所带电荷量对时间的导数为该部分电路的电流等等。