高一数学 基本初等函数及其应用（人教版必修1）：第四章 函数应用

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1、重点列表：重点名称重要指数重点1方程的根与函数的零点★★★★重点2函数应用★★★★重点详解：重点1：方程的根与函数的零点【要点解读】1.函数零点①定义：对于函数，使的实数叫函数的零点.②几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2.函数零点的判定(零点存在性定理）：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间（a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方

2、程f(x)＝0的根．3..函数零点个数的判断方法．①直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．4.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式

3、，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.5.二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．6.二分法的步骤(1)使用二分法的前提条件是：如果函数y＝f(x)在选定的区间[a，b]上的图象是连续不断的一

4、条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，才能用二分法去求函数的零点．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；a．若f(c)＝0，则c就是函数的零点；b．若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0(a，c))；c．若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0(c，b))．④判断是否达到精确度ε；即若

5、a－b

6、＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④

7、．7.一元二次方程的实根分布，是一元二次方程=0的根，设=.根的分布充要条件充要条件1充要条件2,∈(,+∞)＞且＞,∈(-∞,)＜且＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜对一元二次方程根的分别问题，结合对应函数的图像，考虑对称轴、判别式、端点函数值.【考向1】求函数的零点【例1】【2017届重庆市第一中学高三上期中】已知函数，，的零点依次为，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令得，令得，令得，在同一坐标系中分别画出，，，如下图所示，由图象可知，点的横坐标为，点的横坐标为，所以，故选B.【名师点睛】常

8、用函数零点的概念转化为对应方程的解的问题，通过解方程求解函数的零点.【考向2】判定函数零点所在的区间【例2】【2017届湖北荆荆襄宜四地七校联盟高三理上联考一】函数的零点所在区间为A．B．C．D．【答案】A【名师点睛】确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．【考向3】判定函数零点个数或方程解得个数【例3】【2017届江西赣州十三县市十四校高三理上期中联考】已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D

9、【解析】有三个不同的实数根，即与函数由3个不同的交点，如图，画出函数的图像，根据图像可得，故选D.【名师点睛】判断(或求)函数的零点：(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点，就是方程f(x)＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实数根，有几个实数根．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数

10、y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【考向4】与函数零点有关的参数范围问题【例4】【2016-2017学年山西右玉一中高一上期中】已知函数，若方程有三个不同的解，且，则的取值范围是.【答案】【思路点晴】本题考查分段函数图象与性质，考查对数函数图象变换，考查初等函数图象的画法.的图象是这样画的：先画的图象，然后把轴下方的部分关于轴对称翻折上去，就得到的图象.由