空间向量及其加减运算、3.1.2 空间向量的数乘运算-2017-2018学年高二数学人教版（选修2-1）

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1、第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算1．空间向量的定义在空间中，我们把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．2．空间向量的表示方法（1）几何表示：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的_____．（2）符号表示：空间向量可用一个字母表示，如向量a，也可用有向线段的起点、终点的字母表示，如图所示，可用表示向量a的有向线段的起点A和终点B表示为，向量的模记为或．3．几个特殊的空间向量零向量长度为0

2、的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为相等向量方向相同且_____的向量称为相等向量4．空间向量的加法和减法运算已知空间向量a，b，可以把它们平移到同一个平面内，以任意点O为起点，作向量，，如图1所示．类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算(如图2所示)：，．19图1图25．空间向量的加法运算律（1）交换律：；（2）结合律：．用图1、图2来验证空间向量的加法运算律如下：图1图2以上运算律对于多个空间向量的加法也是成

3、立的．6．空间向量的数乘运算（1）定义：与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．（2）向量与a的关系：如图，当时，与向量a的______；当时，与向量a的______．的长度是向量a的长度的倍．（3）空间向量的数乘运算律：①分配律：；②结合律：．7．共线向量（1）定义如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_______，则这些向量叫做共线向量或平行向量．（2）向量共线的充要条件（即共线向量定理）对于空间任意两个向量a，b，的充要条件是存在实数，使_______．（3）共

4、线向量定理的推论如图所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，其中向量a叫做直线l的方向向量．19若在l上取，则①式可以化为②．①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定．注：共线向量定理及其推论可用来证明直线平行和空间三点共线．8．共面向量（1）定义平行于_______的向量，叫做共面向量．（2）三个向量共面的充要条件（即共面向量定理）如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，

5、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p_______．（3）共面向量定理的推论如图，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使；或对空间任意一点O，有③．③式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．K知识参考答案：1．大小方向2．模3．模相等4．5．6．方向相同方向相反7．平行或重合8．同一个平面K—重点空间向量的定义及其表示、空间向量的加减法运算及数乘运算K—难点共线向量、共面向量19K—易错混淆平行直线与平行向

6、量、混淆向量与平面平行和直线与平面平行空间向量的相关概念理解向量的相关概念，关键是掌握几个重要概念：相等向量的模相等，方向相同；零向量的方向任意，模为零；共线向量方向相同或相反；相反向量的模相等，方向相反．给出下列命题：①零向量没有方向；[来源:Zxxk.Com]②若两个空间向量相等，则它们的起点相同、终点也相同；③若空间向量a，b满足，则；④若空间向量a，b，c满足，，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题为________________（填序号）．【答案】④【解析】零向量的方向是任意的，但

7、并不是没有方向，故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命题⑤，任意两个单位向量的模均为1，但方向却不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故填④．学@科··网如图，在长方体中，，，，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，（1）写出模为的所有向量；（2）写出与相等的所有向量；（3）写出的相反向

8、量；（4）单位向量共有多少个？【答案】见解析．【解析】（1）显然，所以模为的向量为，，，，，，，．19（2）与向量相等的所有向量为，，，．[来源:Zxxk.Com]（4）由于，所以，，，，，，，这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．【名师点睛】相等向量和相反向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也不一定是相反向量．空间向量的线性运算向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行