振动力学参考答案

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1、请打双面习题与综合训练第一章2-1一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。等效弹簧系数为k则其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知=则=设静平衡位置水平向右为正方向，则有qFsinaaFhmgqF所以固有频率2-2一均质等直杆，长为l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。解：给杆一个微转角qq＝ha2F＝mg由动量矩定理

2、：其中2-3求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1ˊ。k1ˊ与k3并联，设总刚度为k2ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度为k。即为，，2-4求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中、和是三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。解：（1）（2）（3）（4）2-1如题2-5图所示，质量为的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。解：此系统

3、是一个保守系统，能量守恒系统的动能为：系统的势能为：总能量由于能量守恒消去得系统的运动方程为：系统的固有频率为：2-2如题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为，求系统的固有频率。解：设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为。很小，系统的动能为所以，取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为，由，（A）由题意可知，系统势能为（B）将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，由，得所以，有2-1一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64cm减至0.16cm，求阻尼系数c。解：振动衰减曲线得包络方程为：

4、振动20个循环后，振幅比为：代入,得：又＝c=6.9Ns/mOmgjXOYOFKFC，2-2一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：当n＝pn时，c＝cC2-3如题2-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。解：2-4如题2-10图所示，质量为2000kg的重物以3cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k=48020N/m，c=1960Ns

5、/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为所以有++x=0其特征方程为：+r+=0r=-0.494.875i所以：x=cos4.875t+sin4.875t由于n

6、s时，物体最大振幅为cm2-1由实验测得一个系统的阻尼固有频率为，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为，求系统的无阻尼固有频率、相对阻尼系数及对数衰减率。解：，，；三个方程联立，解得：习题与综合训练第二章2-1已知系统的弹簧刚度k=800N/m，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值，若质量块受激振力N的作用，求系统的稳态响应。解：由题意，可求出系统的运动微分方程为得到稳态解其中由又  有所以x＝1.103cos(3t－51°27¢)2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率rad/s时，系统发生共振；给质量块增加1kg的质量后重新试验，测得共振频率rad

7、/s，试求系统原来的质量及弹簧刚度。解：设原系统的质量为m，弹簧常数为k由，共振时所以①又由当②①与②联立解出m＝20.69kgk＝744.84N/m2-3总质量为W的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度，转子重Q，重心偏离轴线e，梁重及阻尼可以不计，求转速为时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。解：列出平衡方程可得：所以：又因为即为所求的振幅2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力，弹簧支承端