振动力学(梁的横向振动)

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1、振动力学------弹性体的振动梁的横向振动仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。1、运动微分方程在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。取微段梁dx，截面上的弯矩与剪力为M和Q，其正负号的规定和材料力学一样。则微段梁dx沿z方向的运动方程为：即利用材料力学中的关系得到梁的弯曲振动方程边界条件和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。梁的每一

2、端必须给出两个边界条件(以左端为例)。（1）固定端：挠度和转角为0，即（2）简支端：挠度和弯矩为0，即（3）自由端：弯矩和剪力为0，即其它边界条件用类似的方法给出。2、梁弯曲自由振动的解令振动方程中的干扰力为0，得到对于均匀梁，振动方程为其中假定有分离变量形式的解存在，令代入方程得到写为则有其中（称为特征方程）方程的通解为由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率wi。用四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。【例1】求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。代入特征方程的解以及解：边界条件为挠度和弯矩为0。得到以及则则以及频

3、率方程由此解得所以固有频率振型为第i阶振型有i－1个节点。节点坐标即【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。代入特征方程的解得到以及解：边界条件为挠度和转角为0，即化简后得到频率方程求得求出b后得到固有频率振型为【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的均匀梁弯曲振动的频率方程。解：左端的边界条件为挠度和转角为0解：左端的边界条件为挠度和转角为0右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力代入特征方程的解以及进一步化简后得到频率方程求出b后得到固有频率振型为将边界条件代入得到求得讨论：（1）k＝0时，频率方程变为即为悬臂梁的情况。（2）k趋于无穷大时，频率方

4、程变为或即为左端固定，右端简支的情况。【思考题】证明图示悬臂梁在x＝l处的边界条件为：关于振型函数的正交性和一维波动方程振型函数的正交性类似。第i阶特征值满足考虑边界条件为简支、自由、固定的情况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则对第j阶振型进行上面类似的运算得：用Fj左乘上式两端，并积分上两式相减得则i＝j时梁在激励力作用下的响应和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应1.标准坐标（正则坐标）对振型函数按下式条件正则化2.对初始激励的响应设初始条件为将其按标准振型展开用rAFj左乘上两式，并积分得标准坐标下的初始激励响应物理坐标下的响应响应求解步骤：（1）根据边界条件求

5、解固有频率和固有振型;（2）利用标准化条件确定振型中的常数因子;（3）将初始条件变换到标准坐标;（4）求标准坐标下的响应;（5）求物理坐标下的响应。【例4】长为l的均匀简支梁初始静止，设在x＝x1处的微段d上有初始速度v，求系统对此初始条件的响应。解：（1）固有频率与相应的固有振型为（2）由正规化条件确定系数Ci求得所以（3）初始条件。按题意变换到主坐标下3.对外激励的响应（1）分布干扰力设干扰力密度为f(x,t),和前面杆的外激励受迫振动响应推动方法一样。利用标准化振型函数Fi，得到标准坐标下的解耦方程利用杜哈美积分得（4）响应总响应为（2）集中力设在x＝x1处受集

6、中力F(t),这时可以用函数表示为分布形式：F(x,t)dx(x-x1),方程变为总响应为（3）集中力偶（不推导，只给出结果）设在x＝x1处受集中力M(t),这时有总响应为强迫振动的响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用正规化条件确定振型中的常数因子;（3）求主坐标下的响应;（4）求广义坐标下的响应。解：（1）固有频率与相应的固有振型为（2）由正规化条件确定系数Ci【例5】设长为l的简支梁在x＝a处受集中力Fsint作用,求响应。求得（3）响应【例6】火车在很长的桥梁上通过，可以简化为一均匀筒支梁受到以等速率v向右运动的荷重P的作用。

7、假设在初始时刻荷重位于梁的左端，试求强迫振动的响应。解：（1）均匀简支梁的固有频率与相应的固有振型为（2）和前面一样由正规化条件确定系数Ci得到（3）干扰力密度可表为（4）主坐标下的响应其中（5）广义坐标下的响应固有频率的结构特性系统参数的变化与增加约束对固有频率的影响：（1）增大刚度、增加约束，固有频率提高;（2）增大质量，固有频率降低;（3）在某阶固有振型取值最大的地方增大质量，能最有效地降低该阶固有频率;（4）在某阶振型曲线曲率最大的地方增大刚度，能最有效地提高该阶固有频率。