振动物理力学答案

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1、第九章振动思考题9.1什么叫作简谐振动?如某物理量的变化规律满足,、、均为常数,能否说作简谐振动?答:物体(质点或刚体)在线性回复力或线性回复力矩作用下,围绕平衡位置的往复运动叫作简谐振动。可由动力学方程或运动学方程加上一定的附加条件来定义:若物体相对平衡位置的位移(角位移)满足动力学方程,且由振动系统本身性质决定时,则物体作简谐振动;若物体相对平衡位置的位移(角位移)满足运动学方程,且由振动系统本身性质决定,、由初始条件决定的常数时,则物体作简谐振动。以和分别表示时物体的初始位移和初始速度,则式中;可由、和三式中的任意两个来决定。上述运动学方程是动

2、力学方程(微分方程)的解,、是求解时的待定积分常数。三个定义在力学范围内是等价的,动力学方程更具普遍性。可用三个定义中的任何一个来判断物体的运动是否简谐振动。如某物理量的变化规律满足,、、均为常数,不能说作简谐振动。因为常数必须是由振动系统本身性质决定的固有频率,并且、是由系统初始条件决定的常数时,才可以说作简谐振动。9.2如果单摆的摆角很大,以致不能认为,为什么它的摆动不是简谐振动?答:对质量为m的摆球,当摆角很大时,,其切向力,不是角位移的线性回复力。由牛顿定律得:即令,有因此,动力学方程是非线性微分方程,其解不再为余弦函数,不满足简谐振动的定义

3、。9.3在宇宙飞船中,你如何测量一物体的质量?你手中仅有一已知其劲度系数的弹簧。答:将被测物与弹簧连接构成一弹簧振子,用手表测出一定时间内的振动次数N,确定振动频率,从而确定;又,则可间接测量出物体的质量:(质量在太空中不变)。9.4将弹簧振子的弹簧剪掉一半,其振动频率将如何变化?答:设弹簧原长,质量m不变,竖直放置弹簧振子,平衡时,弹簧伸长,则F。由胡克定律,对比可得其劲度系数。当弹簧剪掉一半时,,即。设原弹簧振子频率为,剪后为,则所以,频率增大为原来的倍。9.5将汽车车厢和下面的弹簧视为一沿竖直方向运动的弹簧振子,当有乘客时,其固有频率会有怎样的

4、变化?答:由可知,当有乘客时,。所以,当有乘客时,其固有频率会减小。9.6一弹簧振子(如图9.1)可不考虑弹簧质量。弹簧的劲度系数和滑块的质量都是未知的。现给你一根米尺,又允许你把滑块取下来,还可以把弹簧摘下来,你用什么方法能够知道弹簧振子的固有频率?答:(1)用米尺量出振子尺寸,计算体积,由材料密度可计算出振子质量m;(2)测出弹簧原长,竖直放置弹簧振子,挂物后平衡时测出弹簧长度,计算出弹簧伸长量。在平衡位置,,即可确定劲度系数;(3)计算出固有频率。9.7两互相垂直的简谐振动的运动学方程为,。若质点同时参与上述二振动,且,质点将沿什么样的轨道怎样

5、运动?答:合振动的轨道方程为:。轨道为以和为轴的椭圆。由于,故方向的振动比方向的振动超前,质点沿椭圆顺时针方向运动。9.8“受迫振动达到稳态时,其运动学方程可写作,其中和由初条件决定,即策动力的频率。”这句话对不对?答:不对。和并非由初条件决定,而是依赖于振动系统本身的性质、阻尼的大小和驱动力的特性。9.9“策动力与固有频率相等,则发生共振。”这句话是否准确?答:不准确。共振有位移共振和速度共振之分。常说的位移共振条件为,即位移共振频率一般不等于振动系统的固有频率;仅当无阻尼或阻尼无限小时,共振频率无限接近于固有频率,但这时振幅将趋于无限大。而速度共

6、振的条件是,即策动力的频率等于振动系统的固有频率。习题9.2.1一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为m,其重心C和轴O间的距离为h,刚体对转动轴线的转动惯量为I。问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动?如果是,求固有频率,不计一切阻力。解:设刚体静止时,沿竖直方向,振动系统处于平衡位置。若将刚体偏离平衡位置,使与竖直方向夹一小角,然后将刚体由静止释放,刚体就围绕平衡位置作微小摆动。以表示的角坐标或相对于平衡位置的角位移,以表示重力矩,则(因很小,)重力矩与角位移成线性关系,并与角位移符号相反,为线性回复力矩,刚体在线性回复力矩作用下围绕平衡位置的

7、微小摆动是简谐振动。由转动定律得:令,则所以,刚体简谐振动的固有频率。9.2.2轻弹簧与物体的连接如图所示,物体质量为m,弹簧的劲度系数为k1和k2,支承面是理想光滑面,求系统振动的固有频率。解:设物m处于平衡位置时,弹簧伸长;弹簧伸长,则。取平衡位置为坐标原点O,建立O—X坐标系。当物m受扰动向X轴正向位移时,物m受力:所以,F由牛顿定律F得令,则弹簧的振动微分方程可表示为:所以,固有频率。9.2.3一垂直悬挂的弹簧振子,振子质量为m,弹簧的劲度系数为k1,若在振子和弹簧k1之间串联另一弹簧,使系统的频率减少一半。问串联上的弹簧的劲度系数k2应是k

8、1的多少倍?解:弹簧振子的频率:若使串弹簧振子的频率:故串后的等效劲度系数为时,可满足要求。取振子m静止时(

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