高中数学 第一章172 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积173 球的表面积和体积目标导学 北师大版必修2

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1、7.3　球的表面积和体积学习目标重点难点1.在上一节学习的基础上，会用公式求柱、锥、台体的体积．了解柱、锥、台体的体积之间的关系．2．记住球的表面积和体积公式，并进行有关计算．3．通过学习，提高空间思维能力和空间想象能力，增强了探索问题和解决问题的信心．重点：柱体、锥体、台体的体积的计算．会用公式求球的表面积和体积．难点：与球有关的组合体的体积计算．疑点：已知几何体的三视图，首先转化为直观图，再求它体积.1．柱、锥、台体的体积V柱体＝Sh(S为柱体的底面积，h为柱体的高)．V锥体＝Sh(S为锥体的底面积，h为锥体的高)．V台体＝(S上＋S下＋)h(S上，

2、S下分别为棱台的上，下底面积，h为高)．预习交流1柱体、锥体、台体的体积公式有何联系？提示：台体的体积公式中，如果设S上＝S下，就得到柱体的体积公式V柱体＝Sh；如果设S上＝0，就得到锥体的体积公式V锥体＝Sh.因此，柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表示如下．由上可见，柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例．预习交流2(1)正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的，则它的体积是原来的(　　)．A.　　　　　　　　B.C.D.(2)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________．提示：(1)B　(2)282．球的表面积和

3、体积S球面＝4πR2，V球＝πR3(其中R为球的半径)．预习交流3(1)若球的半径由R增加为2R，则这个球的表面积变为原来的________倍，体积变为原来的________倍．(2)若一个球的体积为4π，则它的表面积为______．提示：(1)4　8　(2)12π81．柱体的体积如图①是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图②.求正三棱柱ABCA1B1C1的体积．思路分析：由三视图可以得到正三棱柱的底面三角形的高和侧棱长．解：由三视图可知：在正三棱柱中，AD＝，AA1＝3，从而在底面即等边△ABC中，AB＝＝＝

4、2，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝×BC×AD×AA1＝×2××3＝3.1．圆柱的底面积是S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是________．解析：设圆柱的底面半径为r，则S＝πr2，∴r＝，则圆柱的母线长l＝2πr＝2，即圆柱的高h＝2，∴V圆柱＝S·h＝2S.答案：2S2．根据图中物体的三视图(单位：cm)，求此几何体体积．解：该几何体上方是底面半径为，母线长为1的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4,1,1的长方体，从而V＝4×1×1＋π·2·1＝＋4.1.求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边

5、形，高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形，进而求解．2．求组合体的体积应据其结构特征分析求解，如迁移与应用题2中为长方体上放一圆柱，故几何体体积为两体积之和．82．锥体的体积(2011辽宁高考，文18)如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值．(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形．因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥D

6、C.在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ.(2)解：设AB＝a.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1＝a3.由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高．而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积V2＝a3.故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.1．(2011陕西高考，理5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为(　　)．A．8－B．8－C．8－2πD.解析：由几何体的三视图可知，原几何体是一个棱长为2的正方体且内部去掉一个底面与正方体上底面内切，高等于正方体棱长的圆锥．

7、正方体的体积为8，圆锥的体积为πr28h＝，∴所求几何体的体积为8－.答案：A2．下图是一个正方体，H，G，F分别是棱AB，AD，AA1的中点．现在沿△GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的部分的体积是原正方体体积的几分之几？解：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3.三棱锥的底面是Rt△AGF，而∠FAG为90°，G，F分别为AD，AA1的中点，所以AF＝AG＝a.所以△AGF的面积为×a×a＝a2.又AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以AH＝a.所以锯掉的部分的体积为×a×a2＝a3.又a3÷a3＝，所以锯掉的部分的体积是原正方体体积的.(

8、1)锥体的体积公式V＝Sh既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不