第二章 reynolds方程

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1、第二章Reynolds方程2-1概述一、Reynolds方程的意义从数学的观点来看，各种流体润滑计算的基本内容是对Navier-Stokes方程的特殊形式—Reynolds方程的应用和求解。虽然早在十七世纪Newton就提出了粘滞流动定律，但直到十九世纪末人们才对润滑原理进行深人研究。1883年Tower对火车轮轴的轴承进行实脸，首次观察到流体动压现象。随后，1886年OsborneReynolds根据流体力学提出了润滑的基本方程，成功地揭示了流体薄膜产生动压的机理，为现代流体润滑理论奠定了基础。Reynolds方程是二阶偏微分方程，以往依靠

2、解析方法求解十分困难，必须经过许多简化处理才能获得近似解，这就使得理论计算往往具有很大的误差。直到本世纪中叶，由于电子计算机技术的迅速发展，复杂的润滑问题有可能进行数值解算。此外，先进的测试技术使得在润滑现象的实验研究中可进行深人细致的观察，从而建立更加符合实际的物理模型。这样，许多工程问题的润滑计算大大接近于实际。目前，润滑计算已在机械设计中占有更重要的地位，而流体润滑理论也已发展成为摩擦学的一个主要分支。二、流体润滑理论的基本方程1.对于刚性表面，流体润滑理论基于下列的基本方程，即(1)运动方程:代表动量守恒原理，亦称为Navier-St

3、okes方程；(2)连续方程:代表质量守恒原理；(3)能量方程:代表能量守恒原理；(4)状态方程:建立密度与压力、温度的关系；(5)粘度方程:建立粘度与压力、温度的关系。2.对于弹性表面的润滑问题，还需要加入弹性变形方程。3.Reynolds方程Reynolds方程是流体润滑理论最基本的方程，它是由运动方程和连续方程推导的。(1)连续方程其中对于定常流动的不可压缩流体，为常数，，连续方程变为容积守恒原理，即(2)Navier-Stokes方程上式中，u、v、w分别为沿坐标x、y、z方向的流速；X、Y、Z为体积力分量；为密度；为粘度；t为时间。

4、2-2普遍Reynolds方程一、假设(1)忽略体积力的作用，如重力或磁力等。除磁流体润滑(MagnetohydrodynamicLubrication，MHD)外，这一假设通常是正确的。(2)流体在界面上无滑动，即贴于界面的油层速度与界面速度相同。这已被实验证实。(3)在沿润滑膜厚度方向上，不计压力的变化。由于膜厚仅百分之几毫米，事实上压力不可能发生明显的变化。(4)与油膜厚度相比较，轴承表面的曲率半径很大，因而忽略油膜曲率的影响，并用平移速度代替转动速度。(5)润滑剂是牛顿流体。这对于一般工况条件下使用的矿物油而言是合理的。(6)流动为层

5、流，油膜中不存在涡流和湍流。对于高速大型轴承，可能处于湍流润滑。(7)与粘性力比较，可忽略惯性力的影响，包括流体加速的力和油膜弯曲的离心力。然而，对于高速大型轴承需考虑惯性力的影响。(8)沿润滑膜厚度方向粘度数值不变。这个假设没有实际根据，只是为了数学运算方便所作的简化。以上假设(1)—(4)对于一般流体润滑问题而言，基本上是正确的。而假设(5)—(8)是为简化而引人的，只能有条件的使用。在某些特殊工况下必须加以修正。二、方程推导运用上述假设，由Navier-Stokes方程和连续方程可以直接推导出Reynolds方程。但是，为了使读者了解流

6、体润滑中的物理现象:这里采用流体力学中微元体分析方法推导Reynolds方程。其主要步骤是(1)由微元体受力平衡条件，求出流体沿膜厚方向的流速分布；(2)将流速沿润滑膜厚度方向积分，求得流量；(3)应用流量连续条件，最后推导出Reynolds方程的普遍形式。1.微元体的平衡从润滑膜中取出一微元体，它在X方向的受力如图2-1所示，只受流体压力P和粘性力t的作用(假设(1)、(7))。设u、v、w分别为流体沿坐标X、Y、Z方向的流速，流速u为主要速度分量，其次是v。而z为沿膜厚方向的尺寸，其数值比x或y都小得多。因此，与速度梯度和相比较，其它速度

7、梯度数值甚小，均可忽略不计。这样，在x方向的受力中，(dx—dz)表面无粘性剪力作用。由X方向受力平衡，可得根据牛顿粘性定律: (假设(5)、(6))故同理且以上得出流体压力p沿X、Y、Z三个方向的变化率。由于P不是z的函数(假设(3))而也不是z的函数(假设(8))，将式(2-3)对z积分两次，于是用边界条件确定C和C。由于界面上流体速度等于界面速度(假设(2))，如果两固体表面的速度为U和U，即当z=0时，u=U；当z=h时，u=U，如图2-2所示。求得因此，润滑膜中任意点沿X方向的流速为同理图2-2表示流速u沿Z向的分布。它由三部分组成

8、:式(2-5)中的第三项表示整个润滑膜以速度U运动，沿膜厚方向即z向各点的速度相同。第二项则是流速沿膜厚方向按三角形分布，它代表由于两表面的相对滑动速度(U—U)引