3.6-常微分方程初步

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1、常微分方程在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。微分方程又分为常微分方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降阶求解

2、的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方法。本章先从解决这类实际问题入手，引出微分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊类型的微分方程的求解方法。重点五种标准类型的一阶方程的求解可降阶的高阶方程的求解二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解难点求解全微分方程求常系数非齐次线性方程的通解一、问题的提出解解代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需二、微分方程的定义微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)

3、之间的关系式.分类1:常微分方程,偏常微分方程.微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.分类2:一阶微分方程高阶(n)微分方程分类3:线性与非线性微分方程.分类4:单个微分方程与微分方程组.三、主要问题-----求方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常

4、数的条件.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.一阶:过定点的积分曲线;二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.解所求特解为补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)四、小结微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线;思考题思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.一阶方程的一般形式为本节主要研究能把导数解出来的一阶方程的解法这个方程虽然简单，也常常很难求出解的有限表达式几种特殊类型的一阶微分方程的解法。所以

5、本节只讨论特殊类型的一阶方程的求解一阶方程有时也可以写成如下的对称形式它既可视为以x为自变量以y为未知函数的方程也可以视为以y为自变量以x为未知函数的方程很重要的观点考虑方程或写成两边积分得但并不是所有的一阶方程都能象上面那样采取两边积分的方法来求它的通解如困难就在于方程的右端含有未知函数积分求不出来为了解决这个问题方程的两边同乘以使方程变为这样变量x,y已经分离在等式的两端两边积分得或可以验证是方程的通解注y=0也是方程的解，但不包含在通解中称为奇解一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.这类方程的特点

6、是经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和其微分解法分离变量法为微分方程的解.求解步骤分离变量两边积分得到隐式通解或通积分二、典型例题例4求解微分方程解分离变量两端积分解通解为三、小结分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.注分离变量时，注意检查是否有漏解，特别是写成对称形式的方程（因为要同除须保证分母不等于0）1.定义的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程齐次型方程一、齐次型方程例6求解微分方程解微分方程的解为例7求解微分方程解微分方程的解为解令则代入化简

7、并分离变量两边积分换回原变量或例8二、可化为齐次型的方程1.定义为齐次型方程.否则为非齐次型方程2.解法（其中h和k是待定的常数）有唯一一组解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.解代入原方程得方程变为分离变量法得得原方程的通解利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为