《常微分方程初步》doc版

《《常微分方程初步》doc版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅蚅蚇袁蒃蚄袀肇荿蚃羂羀芅蚂蚂膅膁艿螄羈肇芈袆膃莆莇薆羆节莆蚈膂膈莅螁羅肄莄羃螇蒂莄蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿莅葿螁袂芁蒈袄肈膇蒈蚃袁膃蒇螆膆聿蒆袈罿莈蒅薈膄芄蒄蚀羇膀薃螂膃肅薂袅羅莄薂薄螈莀薁螇羄芆薀衿袇膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅蚅蚇袁蒃蚄袀肇荿蚃羂羀芅蚂蚂膅膁艿螄羈肇芈袆膃莆莇薆羆节莆蚈膂膈莅螁羅肄莄羃螇蒂莄蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿莅葿螁袂芁蒈袄肈膇蒈蚃袁膃蒇螆膆聿蒆袈罿莈蒅薈膄芄蒄蚀羇膀薃螂膃肅薂袅羅莄薂薄螈莀薁螇羄芆薀衿袇膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇

2、薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅蚅蚇袁蒃蚄袀肇荿蚃羂羀芅蚂蚂膅膁艿螄羈肇芈袆膃莆莇薆羆节莆蚈膂膈莅螁羅肄莄羃螇蒂莄蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿莅葿螁袂芁蒈袄肈膇蒈蚃袁膃蒇螆膆聿蒆袈罿莈蒅薈膄芄蒄蚀羇膀薃螂膃肅薂袅羅莄薂薄螈莀薁螇羄芆薀衿袇膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅蚅蚇袁蒃蚄袀肇荿蚃羂羀芅蚂蚂膅膁艿螄羈肇芈袆第七章常微分方程初步第一节常微分方程引例1(曲线方程)：已知曲线上任意一点M（x,y）处切线的斜率等于该点横坐标4倍，且过（-1，3）点，求此曲线方程解：设曲线方程为，则曲线上任意一点M（x

3、,y）处切线的斜率为根据题意有这是一个含有一阶导数的模型引例2(运动方程)：一质量为m的物体，从高空自由下落，设此物体的运动只受重力的影响。试确定该物体速度随时间的变化规律解：物体开始下落点为坐标原点，y轴铅垂向下。设t时刻物体的位置为，根据题意，只受重力的影响，力的方向与y轴相同，则即这是一个含有一阶导数的模型引例3（火车制动）：一火车在直线轨道上以的速度行驶，当制动时，火车获得负加速度为，求制动后要经过多少时间才能刹住火车？解：设火车开始制动后内行驶了，由题意得到这是一个含有二阶导数的模型定义描述从以上两

4、个例子可以看到，在实际问题中，有时只能从含有未知导数的等式中求未知函数。如引例1中，方程是含有未知函数的导数。于是我们引进微分方程的定义：含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程为偏微分方程。微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。如引例1中，方程是一阶微分方程；引例2中，方程是二阶微分方程；引例3中，方程是二阶微分方程.如果微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次，且不含这些变量的交叉项如，称为线性微分方程。任何满

5、足微分方程的函数都称为微分方程的解。求微分方程的过程称为解微分方程。如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，得到的不含任意常数的解称为特解，这附加条件称为初始条件。回应任务引例1的求解解（1）求通解由题意得（7.1.1）对式（7.1.1）两边同时对积分，得通解（7.1.2）（2）求特解初始条件将代入式（7.1.2），得，即故所求曲线为特解引例2的求解解：由题意得（7.1.3）对式（7.1.3）两边同

6、时对求积分，（7.1.4）再对式（7.1.4）两边同时对求积分，得引例3的求解解：设火车开始制动后内行驶了，由题意得到（7.1.5）初始条件对式（7.1.5）两端同时积分对积分，得速度方程（7.1.6）由初始条件得，，即因为火车刹住时速度为零，即解出火车从制动到完全刹住的时间式（7.1.6）两端再对积分，得由初始条件，得而上面已经得故新的案例分析案例1（曲线运动）求一曲线方程，此曲线通过（1，3），并且它在任一点处切线的斜率等于该点横坐标倒数的2倍。案例2（球体运动）在离地面高度为处，以初速垂直向上抛一小球，

7、若不考虑空气阻力，求此球的运动规律。案例3（运动问题）第二节分离变量法引例1（人口问题）：两百多年前英国人口学家（Malthus，1766-1834）调查了英国人口统计资料，得出了人口增长率r不变的假设，记时刻t的人口为x（t），则人口增长速度与人口总量成正比，从而建立了Malthus人口模型这是一个带有初始条件的一阶微分方程。引例2（招生情况）：某校1995年招生人数为5000人，如果该校能保持每年3%的相对增长率，问到2010年的招生情况如何？解：设第t年该校招生为y（t），t=0时代表1995年，从19

8、95年起，y（t）相对增长率保持为3%，即这是一个带有初始条件的一阶微分方程。引例3（死亡时间鉴定问题）：设温度为的物体放置在温度为的空气中。实验表明，物体温度为时间的变化率与当时物体和空气的温度之差成正比，比例常数为依赖于所给物质的性质。当一起谋杀案发生后，警察中午12：00到达现场。依据法医测得尸体温度为30℃，室温20℃。已知尸体从37℃经两小时后变为35℃，试推算下谋杀是什么时间发生的？解：