2017第三讲微分方程模型

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1、数学建模讲义主讲人:穆学文副教授西安电子科技大学数学系Email:xwmu@xidian.edu.cn课件下载地址xdmuxuewen@163.com密码:xd123456第三讲微分方程模型动态模型描述对象特征随时间(空间)的演变过程分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程主要内容生物单种群增长模型3.1人口增长模型3.2传染病模型生物多种群增长模型为了保持自然资料的合理

2、开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。美丽的大自然种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。离散化为连续，方便研究3.1如何预报人口的增长--Malthus模型与Logistic模型背景：年16251830193

3、01960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长常用的计算公式今年人口x0,年增长率r，k年后人口指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)x(t):时刻t的人口，则某段时间内人口的增长数目基本假设:人口(相对)增长率r是常数,不考虑移民随着时间增加，人口按指数规律无限增长写微分方程的形式为求积分，

4、结果为：模型检验比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6（即3.06×109），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。模型预测假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动

5、范围，而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。故马尔萨斯模型是不完善的。几何级数的增长Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代可用于短期人口增长预测不符合19世纪后多

6、数地区人口增长规律不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大r是x的减函数假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量(资源、环境能容纳的最大数量)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm利用统计数据用最小二乘法作拟合

7、例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4专家估计r=0.2557,xm=392.1继续模型检验1用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用1——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0模型检验2用Logistic模型来描

8、述种群增长的规律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（E·F·Gauss）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和Logistic曲线十分吻合。大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长