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《4-偏微分方程及其求解实例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、当B2-4AC>0时，方程为椭圆型（elliptic）PDE当B2-4AC=0时，方程为抛物型（parabolic）PDE当B2-4AC<0时，方程为双曲型（hyperbolic）PDE第5章化工中的偏微分方程及其求解(1)导热方程:(2)拉普拉斯方程:如稳态静电场和稳态温度分布模型(3)波动方程:一维弦振动模型偏微分方程的边界条件(1)Dirichlet边界条件(第一类边界条件)---在边界上给定u(x,y)的值(2)Neumann边界条件(第二类边界条件)---在边界上给定u(x,y)的外法向导数值(3)Robin边界条件(混合边界条件,第三类边界条件)---在边界上给定u(x,y)
2、与其外法向导数值的线形组合的值,即偏微分方程数值求解方法(1)有限差分法(finitedifferencemethod)将求解域内划分一定数目的网格(交叉点为网格点或节点),在所有节点上,PDE方程用有限差分近似代替，得到代数方程组。这种方法数值稳定性好，但是不能获得节点之间的解，对不规则几何形状或导热系数突变的情况不适合。偏微分方程数值求解方法(2)正交配置法(methodofweightedresiduals)首先选择一个多项式作为试函数，将此试函数代入微分方程，求出多项式的根作为配置点，令在各配置点试函数代入微分方程后的残差（或余量）为零，得到关于多项式系数的代数方程组，然后求解此
3、方程组得到多项式中各项的系数，得到的多项式即为微分方程的近似解析解。偏微分方程数值求解方法(3)MOL法(methodoflines)将一个自变量当成连续变量，对其余的自变量用有限差分法或者正交配置法进行离散，从而把偏微分方程转变为常微分方程组，然后用龙格－库塔法积分求解。常用于求解一维动态和二维稳态PDE方程。偏微分方程数值求解方法(4)有限元法(finiteelementmethods,FEM)把求解域先划分为大量的单元（elements），其中任意大小和方向的三角形网格尤其适用于二维的情况。三角形顶点称为节点（nodes），并与相邻单元相连接。将PDE离散为代数方程组求解。优点是易
4、于处理复杂几何区域，易于与各种边界条件组合使用，可同时提供节点和整个求解域内的解。有限差分法求解偏微分方程差分格式：有限差分法求解偏微分方程差分格式：有限差分法求解偏微分方程差分格式：1、显式差分法2、隐式差分法有限差分法求解偏微分方程一维动态PDE模型的求解初始条件：t=0和0≤x≤10，T=0℃边界条件：x=0cm和所有t，T=100℃x=10cm和所有t，T=0℃jtxi-1ii+1j+1j-1显式差分格式functionPDE1_FDM_im%显式差分法求解一维热传导方程clearall;clcn=6;%空间节点数m=8;%时间节点数T(1,1:m)=100;T(n,1:m)=0
5、;%边界条件T(1:n,1)=0;%初始条件alpha=2;%热扩散系数,m/sa=10;%forx坐标长度,cmb=8;%for时间长度,sh=a/(n-1);%空间步长k=b/(m-1);%时间步长r=alpha.*k./h.^2;forj=2:m%fortimefori=2:n-1%forxT(i,j+1)=(1-2.*r).*T(i,j)+r.*(T(i+1,j)+T(i-1,j));endendT8=T(1:n,m)'jtxi-1ii+1j+1j-1Crank-Nicolson差分格式i=1i=2i=3偏微分方程的求解实例1:恒靠近速度时两等直径液滴形成的液膜内流 体排液速率的
6、模拟—问题描述(h(r,t)~t?)Figure1.Schematicsketchofacurvefilm靠近方向排液方向排液方向偏微分方程的求解实例1:恒靠近速度时两等直径液滴形成的液膜内流 体排液速率的模拟—模型建立初始液膜厚度:h(r,t=0)=h0c+r2/rb边界条件:r=ra,V=2e-6m/sh0c=2.8e-6mrb=0.0015mσ=0.03N/mμc=0.3Pas偏微分方程的求解实例1:恒靠近速度时两等直径液滴形成的液膜内流 体排液速率的模拟—方程离散ri=1234nn-1……..5n+1i=n:P=0functionCVFDclearall;clc;formatlo
7、ngeh0c=2.8e-6;%初始液膜中心厚度,mmu=0.3;%液相流体的粘度,Pa.srb=0.0015;%液滴半径,mtheta=0.03;%液膜的表面张力,N/mra=0.5*rb;%膜出口压力为零区域V=2e-6;%膜出口ra处靠近速度m/sm=100;r=[0,0,linspace(0,ra,m)];n=m+2;dr=ra./(m-1);%节点的步长,Δr,mh0=h0c+r.^2./rb;%初始膜厚度mh0(1)=h0
