高中数学《基本不等式》公开课优秀教学设计

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1、《§3.4.1基本不等式》的教学设计教材：人教版高中数学必修5第三章一、教学内容解析本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。二、教学目标设置1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基

2、本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。三、学生学情分析对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。四、教学策略分析在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条

3、件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点五、教学过程：（一）情景引入下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。探究一：观察上面的会标。会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。将代数与几何紧密的结合在了

4、一起。【设计意图】1．培养学生识图和分析数据的能力，并通过对数量关系的分析得出基本不等式的雏形，进而逐步发现基本不等式的本质和成立条件。2．鼓励学生独立思考，充分发挥学生的创新和想象能力，进而发现并理解基本不等式的实质。师：从图形上你能观察到了什么？生：边、角、三角形、正方形师：我们根据弦图可知勾股定理，那么我们对三角形、正方形可以研究哪些数量关系呢？生：正方形和三角形的面积、周长，根据给的边可以求。师：那么面积之间又有怎样的关系呢？生：大正方形面积，四个直角三角形面积，并且>。师：仅此而已吗？你还能发现怎样的关系？生：还会相等。时会相等。（教师投影展示取等号的条件，证明学生

5、的想法是正确的。）结论：（当且仅当时取等号）师：你能给出证明吗？（此问题学生口述即可）生：由，则恒成立。则时取等号。师：一般的我们都用，表示，那么若将上式中的，换成，，你又会得出什么结论？如何证明？【设计意图】用代数的方法证明基本不等式，进而使学生加深对基本不等式的理解，理解基本不等式中不等号和等号成立的条件；引导学生自己动手写出证明过程，并自我总结归纳基本不等式运用的条件，有利于学生准确、灵活应用。生：当且仅当时取等号。师：很好，还可以写成，如何证明这个结论成立呢？生投影展示：要证，只要证，只要证，只要证，显然式子成立，当且仅当取等号。师：这样我们又一次得到了基本不等式。根

6、据以上证明学生已经基本了解了基本不等式的形式和推导方法，同学们是否真正理解了基本不等式的含义。探究二：如右图，是圆的直径，点是上的一点，，。过点作垂直于的弦,连接、。你能利用这个图形，得出的几何解释吗？【设计意图】对图形进一步分析，引导学生发现几何平均数和算术平均数，让学生体会不仅能以数证形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论。ABDCO（学生口述证明过程，教师给以引导）证明：因为，所以。由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为显然不等式当且仅当点与圆心结合，即当时，等号成立结论:（教师投影展示学生口述结果）是、的几何平均数，是、

7、的算术平均数。代数解释是几何平均数不大于算术平均数。几何解释为半弦不大于半径。师：以上利用代数法和几何法推导基本不等式，过程详细，内容明确，学生们对基本不等式理解了吗？我们来看看以下几个问题是否正确？例：判断对错（1）由则。（）（2）若则。（）（3）当时，。（）（4）函数的最小值为2.（）【设计意图】考查学生对所学知识点掌握的情况，是否真正理解了基本不等式并能注意运用公式时需要注意的条件，从而真正意义上理解不等式的含义。（学生先独立思考，组内再探讨，最后小组派代表解答。）师：基本不等式在解决实际问题中有