2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案:2.2.1等差数列学案

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1、2017-2018学年人教B版高中数学必修5导学案2.2.1等差数列1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念,深化认识并能运用.3.理解等差数列的性质,并掌握等差数列的性质及其应用.1.等差数列的概念一般地,如果一个数列从______起,每一项与它的前一项的差都等于__________,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的______,通常用字母______表示.定义法判断或证明数列{an}是等差数列的步骤:(1)作差an+1-an,将差变形;(2)当an+

2、1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.【做一做1】如果一个数列的前3项分别为1,2,3,下列结论中正确的是().A.它一定是等差数列B.它一定是递增数列C.它一定是有穷数列D.以上结论都不一定正确2.等差数列的通项公式如果一个等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则通项公式为____________.(1)等差数列通项公式的其他形式.①an=am+(n-m)d;②an=an+b(a,b是常数).(2)等

3、差数列的判断方法.①定义法:an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d⇔数列{an}是等差数列;②等差中项法:2an=an-1+an+1(n≥2)⇔数列{an}为等差数列;③通项公式法:an=an+b⇔数列{an}是以a1=a+b为首项,以a为公差的等差数列.【做一做2-1】已知数列{an}的通项公式为an=2(n+1)+3,则此数列().A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为5的等差数列D.不是等差数列【做一做2-2】等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是().A

4、.92B.47C.46D.453.等差中项如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x和y的________.x,A,y是等差数列的充要条件是________.(1)a,A,b成等差数列的充要条件是:2A=a+b.当三个数成等差数列时,一般设为a-52017-2018学年人教B版高中数学必修5导学案d,a,a+d;四个数成等差数列时,一般设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.(2)在等差数列{an}中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,表示为an+1

5、=,等价于an+an+2=2an+1,an+1-an=an+2-an+1.【做一做3】在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则∠B等于().A.30°B.60°C.90°D.120°一、解读等差数列的概念剖析:(1)在等差数列的定义中,要注意两点,“从第2项起”及“同一个常数”.因为数列的第1项没有前一项,因此强调从第2项起,如果一个数列,不从第2项起,而是从第3项或从第4项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么此数列不是等差数列,但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列.(2)一个

6、数列,从第2项起,每一项与它的前一项的差,尽管等于常数,这个数列可不一定是等差数列,因为这个常数可以不同,要注意“差是常数”和“差是同一个常数”的含义的不同,如数列2,4,5,9,从第2项起,每一项与它前一项的差都是常数,但常数是不相同的,当常数不同时,就不是等差数列,因此定义中“同一个常数”,这个“同一个”十分重要,切记不可丢掉.二、等差数列的性质剖析:若数列{an}是公差为d的等差数列,(1)d=0时,数列为常数列;d>0时,数列为递增数列;d<0时,数列为递减数列.(2)d==(m,n,k∈

7、N+).(3)an=am+(n-m)d(n,m∈N+).(4)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq.(5)若=k,则am+an=2ak.(6)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=….(7)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列.(8)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差为md的等差数列.(9)若数列{b

8、n}也为等差数列,则{an±bn},{kan+b}(k,b为非零常数)也成等差数列.(10)若{an}是等差数列,则a1,a3,a5,…仍成等差数列.(11)若{an}是等差数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…仍成等差数列.用性质(4)时要注意,序号的和相等,但项数不同,此结论不一定正确,如a8=a2+a6,a1+a3+a4=a2+a6,就不一定正确.三、教材中的“?”(1)通项公式为an=an-b(a,b是常数)的数列都是等差数列吗?剖析:通项公式为a

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