2017-2018学年高中数学人教b版必修5学案：2.2.1等差数列课堂探究学案

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1、2017-2018学年人教B版高中数学必修5导学案2.2.1等差数列课堂探究一、解读等差数列的概念剖析：(1)在等差数列的定义中，要注意两点，“从第2项起”及“同一个常数”．因为数列的第1项没有前一项，因此强调从第2项起，如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项或从第4项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列．(2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这个常数可以不同，要注意“差是常数”和“差是同一个常数”的含义的不同，如数列2，4，5，9，从第2项起，每一项与它前一项

2、的差都是常数，但常数是不相同的，当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中“同一个常数”，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉．二、等差数列的性质剖析：若数列{an}是公差为d的等差数列，(1)d＝0时，数列为常数列；d>0时，数列为递增数列；d<0时，数列为递减数列．(2)d＝＝(m，n，k∈N+)．(3)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+)．(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N+)，则am＋an＝ap＋aq．(5)若＝k，则am＋an＝2ak．(6)若数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai+1＋an

3、－i＝…．(7)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列．(8)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N+)组成公差为md的等差数列．(9)若数列{bn}也为等差数列，则{an±bn}，{kan＋b}(k，b为非零常数)也成等差数列．(10)若{an}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列．(11)若{an}是等差数列，则a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…仍成等差数列．名师点拨：用性质(4)时要注意，序号的和相等，但项数不同，此结论不一定正确，如a8＝a2＋a6，a1＋a3＋a4＝a2＋a6，就不一定正确．三、教材中的

4、“？”(1)通项公式为an＝an－b(a，b是常数)的数列都是等差数列吗？52017-2018学年人教B版高中数学必修5导学案剖析：通项公式为an＝an－b(a，b为常数)的数列都是等差数列，其公差为a．(2)怎么证明A＝？剖析：∵x，A，y成等差数列，∴A－x＝y－A，即2A＝x＋y．∴A＝．(3)要确定一个等差数列的通项公式，需要知道几个独立的条件？剖析：因为等差数列的通项公式中涉及首项a1与公差d，所以要确定一个等差数列的通项公式，需要知道两个独立的条件．题型一　等差数列定义的应用【例1】判断下列数列是否为等差数列．(1)an＝3n＋2；(2)an＝n2＋n．分析：利用等差数列的定义，即

5、判断an+1－an(n∈N＋)是否为同一个常数．解：(1)an+1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N+)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．(2)an+1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．反思：利用定义法判断等差数列时，关键是看an＋1－an得到的结果是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列．题型二　等差数列的通项公式及其应用【例2】已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{an}的通项公式，并判断－34是数列{an}的项吗？分析：由数列前三项和为18，前三项积

6、为66，列出关于a1和d的方程组，通过解方程组求得a1和d，由递减等差数列的条件确定方程组的解即可求出an；由an＝－34求n，然后由n∈N+可判断．解：由题意设该数列的首项为a1，公差为d，则即得或又由该数列为递减数列，∴d＝5时不合题意，故该数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝11－5(n－1)＝－5n＋16．且－34是数列{an}中的项，为第10项．52017-2018学年人教B版高中数学必修5导学案【互动探究】若将本例中的“递减等差数列”改为“递增等差数列”，其余条件不变，如何求解？答案：an＝5n－4，－34不是数列{an}中的项．题型三　等差数列性质的应用【例3】已知等差数列

7、{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9．分析：既可以用等差数列的性质得到a2＋a10＝a3＋a9＝2a6，也可以由通项公式得a1与d间的关系再求解．解：方法一：根据等差数列的性质，得a2＋a10＝a3＋a9＝2a6．由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝．∴a3＋a9＝2a6＝．方法二：根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)