2018版高中数学（人教b版）必修五学案第二章 2.2.1 等差数列（二）含答案

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1、www.ks5u.com2.2.1　等差数列(二)[学习目标]　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．[知识链接]在等差数列{an}中，若已知首项a1和公差d的值，由通项公式an＝a1＋(n－1)d可求出任意一项的值，如果已知am和公差d的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？[预习导引]1．等差数列的图象等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常函数；当d≠0时，点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．等差数列的项与序号的关系(

2、1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d,am,an(m≠n)，则d＝＝，从而有an＝am＋(n－m)d.(2)项的运算性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.3．等差数列的性质(1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….(2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2

3、d的等差数列(k为常数，k∈N＋){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)(3){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列.-6-要点一　等差数列性质的应用例1　(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．解　(1)方法一　根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.由题意知，3a1＋15d＝1，即a1

4、＋5d＝.∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝.方法二　根据等差数列性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝，∴a4＋a8＝2a6＝.(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d，∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5，又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3或d＝－3(舍去)，∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.规律方法　解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq

5、＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪演练1　在等差数列{an}中：(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________；(2)若a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则a1＋a20等于________．答案　(1)15　(2)18解析　(1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18

6、)＝54⇒a1＋a20＝18.要点二　等差数列的设法与求解例2　三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．解　方法一　设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d.依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.方法二　设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，-6-所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d

7、2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2,－2.规律方法　利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．跟踪演练2　四个数成递增等差数列，中间两数的和为