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时间:2018-03-23
《2018版高中数学(人教b版)必修五学案第二章 2.2.1 等差数列(一)含答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、www.ks5u.com2.2等差数列2.2.1等差数列(一)[学习目标]1.理解等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念,深化认识并能运用.[知识链接]第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次,奥运会如因故不能举行,届数照算.这样举行奥运会的年份数构成一个数列,这个数列有什么特征呢?这个数列叫什么数列呢?[预习导引]1.等差数列的概念如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差
2、等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.2.等差中项如果三个数x、A、y组成等差数列,那么A叫做x与y的等差中项,且A=.3.等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1,公差为d,则其通项an=a1+(n-1)d.4.等差数列的单调性等差数列{an}中,若公差d>0,则数列{an}为递增数列;若公差d<0,则数列{an}为递减数列.要点一等差数列的概念例1若数列{an}的通项公式为an=10+lg2n,试说明数列{an}为等差数列.解因为an=10+lg2n=10+n
3、lg2,所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)=lg2(n∈N+).所以数列{an}为等差数列.规律方法判断一个数列是不是等差数列,就是判断an+1-an(n≥1)是不是一个与n-4-无关的常数.跟踪演练1数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列答案A解析∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,∴{an}是公差为2的等差数列.要点二等差中项及其应用例2
4、(1)在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差数列,求此数列.(2)已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N+,p,q为常数),且x1、x4、x5成等差数列.求:p,q的值.解(1)∵-1,a,b,c,7成等差数列,∴b是-1与7的等差中项.∴b==3.又a是-1与3的等差中项,∴a==1.又c是3与7的等差中项,∴c==5.∴该数列为-1,1,3,5,7.(2)由x1=3,得2p+q=3,①又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得3+
5、25p+5q=25p+8q,即q=1,②将②代入①,得p=1.规律方法在等差数列{an}中,由定义有an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N+),即an=,从而由等差中项的定义知,等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.跟踪演练2若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项.解由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.两式相加,得m+n=6.∴m和n的等差中项为=3.要点三等差数列的通项公式及应用例3(1
6、)若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求a75.(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断--4-34是该数列的项吗?解(1)设{an}的公差为d,首项为a1.由题意知解得所以a75=a1+74d=+74×=24.(2)依题意得∴解得或∵数列{an}是递减等差数列,∴d<0.故取a1=11,d=-5.∴an=11+(n-1)·(-5)=-5n+16.即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16.令an=-34,即-5n+16=-34
7、,得n=10.∴-34是数列{an}的第10项.规律方法在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1,d的方程(组)求解,但是要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.跟踪演练3已知{an}为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式:(1)a3=5,a7=13;(2)前三项为a,2a-1,3-a.解(1)设首项为a1,公差为d,则解得∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.(2)由等差中项公式得2
8、×(2a-1)=a+(3-a),a=,∴首项为a=,公差为2a-1-a=a-1=-1=,∴an=+(n-1)×=+1.1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差d为()A.2B.3C.-2D.-3答案C-4-解析由等差数列的定义,得d=an+1-an=3-2(n+1)-(3-2n)=-2.2.在△ABC中,三内角A、B、C成等差数列,则角B等于()A.30°B.60°C.90°D.120°答案B解析因为A、B、C成等差数列,所以B是A,C的等差中项,则有A+C=2
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