2018版高中数学北师大版必修四学案第三章 疑难规律方法

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1、2017-2018学年高中数学北师大版必修4学案1　同角三角函数关系巧运用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧运用．一、知一求二例1　已知sinα＝，≤α≤π，则tanα＝_______________________.解析　由sinα＝，且sin2α＋cos2α＝1得cosα＝±，因为≤α≤π，可得cosα＝－，所以tanα＝＝－2.答案　－2点评　已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数

2、值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论．二、“1”的妙用例2证明：＝.证明　因为sin2x＋cos2x＝1，所以1＝(sin2x＋cos2x)3,1＝(sin2x＋cos2x)2，所以＝＝172017-2018学年高中数学北师大版必修4学案＝＝.即原命题得证．点评　本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解．三、齐次式型求值例3已知tanα＝2，求值：(1)＝________；(2)2sin2α－3cos2α＝________.解析　(1)因为cosα≠0，分子分母

3、同除以cosα，得＝＝＝－1.(2)2sin2α－3cos2α＝，因为cos2α≠0，分子分母同除以cos2α，得＝＝＝1.答案　(1)－1　(2)1点评　这是一组在已知tanα＝m的条件下，求关于sinα、cosα的齐次式值的问题．解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sinα、cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．(2)因为cosα≠0，所以分子、分母可同时除以cosnα(n∈N＋)．这样可以将所求式化为关于tanα的表达式，整体代入tanα＝m的值求解.2　三角恒等变形中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因

4、此三角恒等变形离不开角之间的变换．观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变形的一种常用技巧．一、利用条件中的角表示目标中的角例1　设α、β为锐角，且满足cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．分析　利用变换β＝α－(α－β)沟通条件与欲求之间的关系．解　∵α、β为锐角，且tan(α－β)＝－<0，172017-2018学年高中数学北师大版必修4学案∴－<α－β<0.∴sin(α－β)＝－＝－，cos(α－β)＝＝，sinα＝

5、＝.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×(－)＝.二、利用目标中的角表示条件中的角例2　设α为第四象限的角，若＝，则tan2α＝_______________________.分析　要求tan2α的值，注意到sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα，代入到＝，首先求出cos2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan2α.解析　由＝＝＝2cos2α＋cos2α＝，∵2cos2α＋cos2α＝1＋2cos2α＝，∴cos2α＝.∵α为第四象限的角

6、，∴2kπ＋<α<2kπ＋2π(k∈Z)，∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π(k∈Z)，∴2α可能在第三、四象限，又∵cos2α＝，∴2α在第四象限，∴sin2α＝－，tan2α＝－.答案　－172017-2018学年高中数学北师大版必修4学案三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例3　已知sin＝，0

7、.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4　求函数f(x)＝sin(x－20°)－cos(x＋40°)的最大值．分析　观察角(x＋40°)－(x－20°)＝60°，可以把x＋40°看成(x－20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f(x)．解　f(x)＝sin(x－20°)－cos[(x－20°)＋60°]＝sin(x－20°)－sin(x－20°)－cos(x－20°)cos60°＋sin(x－20°)sin60°＝[sin(x－20°)－cos(x－20°)]＝sin(x－65°)，当x－65°＝k·360°＋90°，即x＝k

8、·360°＋155°(k∈Z)时，f(x)有最大值.3　三角函数化简求值的“主角”——“变角”172017-2018学年高中数学北师大版必修4学案三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的