2018版高中数学苏教版必修四学案：疑难规律方法3

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1、2017-2018学年苏教版高中数学必修四学案1　三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角之间的联系，消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地利用条件得出结论，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧.一、利用条件中的角表示目标中的角例1　设α、β为锐角，且满足cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值.分析　利用变换β＝α－(α－β)寻找条件与所求之间的关系.解　∵α、β为锐角，且tan(α－β)＝

2、－<0，∴－<α－β<0.∴sin(α－β)＝－＝－，cos(α－β)＝＝，sinα＝＝.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×(－)＝.二、利用目标中的角表示条件中的角例2　设α为第四象限的角，若＝，则tan2α＝_______________________.分析　要求tan2α的值，注意到sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα，代入到＝142017-2018学年苏教版高中数学必修四学案，首先求出cos2α的

3、值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan2α.解析　由＝＝＝2cos2α＋cos2α＝.∵2cos2α＋cos2α＝1＋2cos2α＝.∴cos2α＝.∵α为第四象限的角，∴2kπ＋<α<2kπ＋2π(k∈Z)，∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π(k∈Z)，∴2α可能在第三、四象限，又∵cos2α＝，∴2α在第四象限，∴sin2α＝－，tan2α＝－.答案　－三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例3　已知sin＝，0

4、值的问题.这样可以将所求式子化简，使其出现这个角的三角函数.解　原式＝＝＝2sin＝2cos，∵sin＝，且0

5、°)＋60°]＝sin(x－20°)－sin(x－20°)－cos(x－20°)cos60°＋sin(x－20°)sin60°＝[sin(x－20°)－cos(x－20°)]＝sin(x－65°)，当x－65°＝k·360°＋90°，即x＝k·360°＋155°(k∈Z)时，f(x)有最大值.2　三角函数化简求值的“主角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招：第一招　单角化复角例1　已知sinα＝，α是第二象限的角

6、，且tan(α＋β)＝－，则tanβ的值为________.解析　因为sinα＝，α为第二象限的角，所以cosα＝－，所以tanα＝－.所以tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝－.答案　－点评　将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式，如：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等.第二招　复角化单角例2　化简：－2cos(α＋β).解　原式＝＝＝＝＝.142017-201

7、8学年苏教版高中数学必修四学案点评　由于该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式展开即可.第三招　复角化复角例3　已知<α<，0<β<，cos(＋α)＝－，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值.解　因为<α<，<＋α<π，所以sin(＋α)＝＝.又因为0<β<，<＋β<π，所以cos(＋β)＝－＝－，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin[(＋α)＋(＋β)]＝－[sin(＋α)cos(＋β)＋cos(

8、＋α)sin(＋β)]＝－[×(－)＋(－)×]＝.点评　由已知条件求出sinα或cosα过程较烦琐，故需要找到α＋β与＋α和＋β的关系，即是将所求复角化为已知复角，再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求解.3　三角恒等变换的几个技巧有关三角的题目是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助.一、灵活降幂例1　＝________.解析　＝＝＝2.答案　2点评　常用的降