2018版高中数学苏教版必修四学案：疑难规律方法2

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1、2017-2018学年苏教版高中数学必修四学案1　向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面.一、化简例1化简下列各式：(1)(2－)－(－2)；(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)].解　(1)(2－)－(－2)＝2－－＋2＝2＋＋＋2＝2(＋)＋(＋)＝2＋＝.(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)]＝(6a＋24b－24a＋12b)＝(－18a＋36b)＝－a＋b.点评　向量的基本运算

2、主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a，b，c等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量.二、求参数例2如图，已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m72017-2018学年苏教版高中数学必修四学

3、案成立，则m＝________.解析　如图，因为＋＋＝0，即＝－(＋)，即＝＋，延长AM，交BC于D点，所以D是BC边的中点，所以＝2，所以＝，所以＋＝2＝3，所以m＝3.答案　3点评　求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值.三、表示向量例3如图所示，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N，设＝a，＝b，用向量a，b表示、、、、.解　因为DE∥BC，＝，所以＝＝b，＝－＝b－a

4、，由△ADE∽△ABC，得＝＝(b－a)，又M是△ABC底边BC的中点，DE∥BC，72017-2018学年苏教版高中数学必修四学案所以＝＝(b－a)，＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝(a＋b).点评　用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量.2　走出平面向量的误区平面向量的基本定理与坐标表示是向量问题的基础，试题的特点是概念较多，应用也多，不少同学由于概念、

5、性质掌握不清，在解题时经常出现错误，本文将常见的错误进行简单的总结，希望帮助同学们走出平面向量的误区.一、理解失误例1已知e1、e2是平面α内的一组基底，那么下列命题中正确的有______.(只填序号)①e1、e2两个向量可以共线，也可以是零向量；②λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；③对于平面α内的任意向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ、μ有无数对.错解　①②③正解　由平面向量的基本定理知，只有不共线的两个向量才能作为平面向量的一组基底，所以①错误；任一平面向量都可以用一组基底线性表示，且基底确定，其表示是唯一的，所以②

6、正确，③错误；故正确答案为②.答案　②点评　对平面向量基本定理的学习要把握以下几点：①e1、e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内的任意向量a都可用e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的；③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.二、考虑不全例2与模长为13的向量d＝(12，5)平行的单位向量为________.错解　由题意得

7、d

8、＝13，则与d＝(12，5)平行的单位向量为(，).正解　与d＝(12，5)平行的单位向量为(，)或(－，－).答案　(，)或(－，－)点评　与d平行的单位向量有同

9、向和反向两种情况，错解忽略了反向的情况.72017-2018学年苏教版高中数学必修四学案三、概念混淆例3已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝3，＝2，试求点M，N和向量的坐标.错解　A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，所以＝(－2＋3，4＋4)＝(1，8)，＝(3＋3，－1＋4)＝(6，3)，＝3＝(3，24)，＝2＝(12，6)，所以点M(3，24)，点N(12，6)，＝(9，－18).正解　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).所以＝(－2＋3，4＋4)＝(1，8)，＝(3＋

10、3，－1＋4)＝(6，3)，＝3＝(3，24)，＝2＝(12，6)，又C(－3，－4)，所以点M(0，20)，点N的坐标为(9，2)；所以＝(9－0，2－20)＝(9，－18).点评　向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念，向量的坐标等于终点坐标减去