2018版高中数学人教b版选修2-2学案:1章末复习课

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1、2017-2018学年人教B版高中数学学案题型一 导数与曲线的切线利用导数求切线方程时关键是找到切点,若切点未知需设出.常见的类型有两种,一类是求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,易求斜率进而写出直线方程即可得;另一类是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),由=f′(x1)和y1=f(x1)求出x1,y1的值,转化为第一种类型.例1 已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;72017-2018学年人教B版高中数学学案(

2、2)证明:当x>0时,x2ln2时,f′(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,且极小值f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.(2)证明 令g(x)=ex-x2,则g′(x)=ex-2x.由(1)得g′(x)=f(x)≥f(ln2)>0.故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1

3、>0,因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x20,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式f′(x)

4、<0,解集在定义域内的部分为减区间.特别要注意定义域,写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“∪”连接.例2 求下列函数的单调区间:72017-2018学年人教B版高中数学学案(1)f(x)=(x-3)ex,x∈(0,+∞);(2)f(x)=x(x-a)2.解 (1)f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)>0,解得x>2,又x∈(0,+∞),∴函数的单调增区间为(2,+∞),函数的单调减区间为(0,2).(2)函数f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x的定义域为R,由f′(x)=3x2-4ax+a2=

5、0,得x1=,x2=a.①当a>0时,x1x2,∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(,+∞),单调递减区间为(a,).③当a=0时,f′(x)=3x2≥0,∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),即f(x)在R上是单调递增的.综上,a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,),(a,+∞),单调递减区间为(,a);a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(,+∞),单调递减区间为(a,);a=0时,函数f(x)的单调递增区间是(-

6、∞,+∞).跟踪训练2 求下列函数的单调区间:(1)f(x)=sinx,x∈[0,2π];(2)y=xlnx.解 (1)函数的定义域是[0,2π],f′(x)=cosx,令cosx>0,解得2kπ-0得x>e-1,因此,f(x)的单调递增区间是(e-1,+∞),单调递减区间是(0,e

7、-1).题型三 数形结合思想在导数中的应用1.应用导数求函数极值的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)解方程f′(x)=0的根;(3)检验f′(x)=0的根的两侧f′(x)的符号.若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值;若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值;否则,此根不是f(x)的极值点.2.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将(1)求得的极植与f(a)、f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值;特别地,①当f(x)在(a,b)上单调时,

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