2018版高中数学人教b版选修1-1学案2.1.2 椭圆的几何性质（二）

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案2．1.2　椭圆的几何性质(二)[学习目标]　1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识．[知识链接]已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？答案　直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的根的判别式来判断．Δ>0⇔直线和椭圆相交；Δ＝0⇔直线和椭圆相切；Δ<0⇔直线和椭圆相离．[预习导引]1．点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内⇔＋<1；点P在椭圆外⇔＋>1

2、.2．直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立消y得到一个关于x的一元二次方程，再依据下表判断．位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<03.弦长公式设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，82017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案则

3、AB

4、＝，∴

5、AB

6、＝＝＝，或

7、AB

8、＝＝＝.其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到的关于x(或y

9、)的一元二次方程求得．要点一　直线与椭圆的位置关系例1　在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．解　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，由图可知y＝x－4距l最近，故最短距离d＝＝，P点为切点，即P.规律方法　82017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y

10、或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．跟踪演练1　已知椭圆＋＝1，直线l：4x－5y＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？解　如图，由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交．设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0.①由方程组消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0.②令方程②的根的判别式Δ＝0，得64k2－4×25(k2－225)＝0.③解方程③得k1＝25，或k2

11、＝－25.由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0.直线m与直线l间的距离d＝＝.所以，最小距离是.要点二　直线与椭圆的相交弦问题例2　已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)求椭圆的方程；82017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．解　(1)由题设知解得∴椭圆的方程为＋＝1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，

12、∴圆心到直线l的距离d＝，由d<1得

13、m

14、<.∴

15、CD

16、＝2＝2＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－mx＋m2－3＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.∴

17、AB

18、＝＝.由＝得＝1，解得m＝±，且

19、±

20、<.∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.规律方法　处理直线与椭圆相交问题的通法是联立直线与椭圆的方程，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪演练2　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交

21、于A、B两点．(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x.由可得x2－18＝0，82017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案即x＝±3，则有A(3，)，B(－3，－)或A(－3，)，B(3，)，所以

22、AB

23、＝＝3.所以线段AB的长度为3.(2)方法一　设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．联立消去y得(1＋4k2)x2－(32