2018版高中数学人教b版选修1-1学案2.1.2 椭圆的几何性质（一）

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案2．1.2　椭圆的几何性质(一)[学习目标]　1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．[知识链接]观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图中看出x和y的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上有哪些特殊点？答案　(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．[预习导引]1．椭

2、圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点(±，0)(0，±)焦距2c＝

3、F1F2

4、＝2对称性对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点离心率e＝∈(0,1)62017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案2.离心率的作用当椭圆的离心率越接近1，则椭圆越扁；

5、椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆.要点一　椭圆的几何性质例1　求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解　已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝4，b＝3，c＝＝，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝＝，又知焦点在x轴上，∴两个焦点坐标分别是F1(－，0)和F2(，0)，四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3)．规律方法　解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据标准方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之

6、间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪演练1　求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解　椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m>0)可转化为＋＝1.∵m2<4m2，∴>，∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距c＝.∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，焦点坐标为(－，0)，(，0)，顶点坐标为(，0)，(－，0)，(0，－)，(0，)．离心率e＝＝＝.要点二　由椭圆的几何性质求方程例2　求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离

7、心率为，焦距为8.62017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.解　(1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的标准方程是＋＝1.(2)由已知∴从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.规律方法　在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.跟踪演练2　椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程

8、．解　∵所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3，∵e＝＝，∴c＝a＝×3＝，∴b2＝a2－c2＝32－()2＝9－6＝3，∴椭圆的方程为＋＝1.②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，∵e＝＝，∴c＝a，∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，∴a2＝3b2＝27，∴椭圆的方程为＋＝1.综上可知，椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.要点三　求椭圆的离心率例3　设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的

9、直线交椭圆E于A，B两点，

10、AF1

11、＝3

12、F1B

13、.(1)若

14、AB

15、＝4，△ABF2的周长为16，求

16、AF2

17、；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．解　(1)由

18、AF1

19、＝3

20、F1B

21、，

22、AB

23、＝4，得

24、AF1

25、＝3，

26、F1B

27、＝1.因为△ABF2的周长为16，62017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案所以由椭圆定义可得4a＝16，

28、AF1

29、＋

30、AF2

31、＝2a＝8.故

32、AF2

33、＝2a－

34、AF1

35、＝8－3＝5.(2)设

36、F1B

37、＝k，则k>0且

38、AF1

39、＝3k，

40、AB

41、＝4k.由椭圆定义可得

42、AF2

43、＝2a－3k

44、，

45、BF2

46、＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得

47、AB

48、2＝

49、AF2

50、2＋

51、BF2

52、2－2

53、AF2

54、·

55、BF2

56、cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(