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《2018版高中数学人教b版选修1-1学案2.1.2 椭圆的几何性质（一） 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案2．1.2 椭圆的几何性质(一)[学习目标] 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．[知识链接]观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图中看出x和y的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上有哪些特殊点？答案 (1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．[预习导引]1．椭
2、圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点(±，0)(0，±)焦距2c＝
3、F1F2
4、＝2对称性对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点离心率e＝∈(0,1)62017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案2.离心率的作用当椭圆的离心率越接近1，则椭圆越扁；
5、椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆.要点一 椭圆的几何性质例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解 已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝4，b＝3，c＝＝，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝＝，又知焦点在x轴上，∴两个焦点坐标分别是F1(－，0)和F2(，0)，四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3)．规律方法 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据标准方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之
6、间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪演练1 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解 椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m>0)可转化为＋＝1.∵m2<4m2，∴>，∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距c＝.∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，焦点坐标为(－，0)，(，0)，顶点坐标为(，0)，(－，0)，(0，－)，(0，)．离心率e＝＝＝.要点二 由椭圆的几何性质求方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离
7、心率为，焦距为8.62017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.解 (1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的标准方程是＋＝1.(2)由已知∴从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.规律方法 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.跟踪演练2 椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程
8、．解 ∵所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3，∵e＝＝，∴c＝a＝×3＝，∴b2＝a2－c2＝32－()2＝9－6＝3，∴椭圆的方程为＋＝1.②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，∵e＝＝，∴c＝a，∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，∴a2＝3b2＝27，∴椭圆的方程为＋＝1.综上可知，椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.要点三 求椭圆的离心率例3 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的
9、直线交椭圆E于A，B两点，
10、AF1
11、＝3
12、F1B
13、.(1)若
14、AB
15、＝4，△ABF2的周长为16，求
16、AF2
17、；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．解 (1)由
18、AF1
19、＝3
20、F1B
21、，
22、AB
23、＝4，得
24、AF1
25、＝3，
26、F1B
27、＝1.因为△ABF2的周长为16，62017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案所以由椭圆定义可得4a＝16，
28、AF1
29、＋
30、AF2
31、＝2a＝8.故
32、AF2
33、＝2a－
34、AF1
35、＝8－3＝5.(2)设
36、F1B
37、＝k，则k>0且
38、AF1
39、＝3k，
40、AB
41、＝4k.由椭圆定义可得
42、AF2
43、＝2a－3k
44、，
45、BF2
46、＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得
47、AB
48、2＝
49、AF2
50、2＋
51、BF2
52、2－2
53、AF2
54、·
55、BF2
56、cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(
