2018版高中数学人教b版必修二学案2.1.2　平面直角坐标系中的基本公式

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1、2.1.2　平面直角坐标系中的基本公式[学习目标]　1.通过数轴上两点的距离公式的探索,掌握平面直角坐标系中两点的距离公式和中点公式.2.通过对两点的距离公式的推导过程的探索,体会算法.3.进一步体会“坐标法”的基本思想,逐步学会用“坐标法”解决有关问题.[知识链接]1.在直角坐标系中,A(1,0),B(3,0)两点的距离为2；C(0,－1),D(0,3)两点的距离为4.2.在直角三角形ABC中,B＝90°,AB＝3,BC＝4,则AC＝5.[预习导引]1.两点间距离公式两点A(x1,y1),B(x2,y2)间

2、的距离公式表示为d(A,B)＝；当AB垂直于y轴时,d(A,B)＝

3、x2－x1

4、；当AB垂直于x轴时,d(A,B)＝

5、y2－y1

6、；当B为原点时,d(A,B)＝.2.坐标法(1)定义：在解决一些平面上的几何问题时,经常在平面上建立坐标系,以坐标系为桥梁,将几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形的性质,这种方法称为坐标法.注意在建立坐标系时,可以建立直线坐标系、直角坐标系等.(2)坐标法解决问题的基本步骤如下：第一步,根据题中条件,建立恰当的坐标系,用坐标表示有关的量；第二步,进行有关代数运算；第三步

7、,把代数结果翻译成几何关系.3.中点坐标公式已知A(x1,y1),B(x2,y2),设点M(x,y)是线段AB的中点,则中点坐标公式为.要点一　两点的距离公式的应用例1　已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－a,0),B(a,0),C(0,a).求证：△ABC是等边三角形.证明　由两点的距离公式得5

8、AB

9、＝＝2

10、a

11、,

12、BC

13、＝＝2

14、a

15、,

16、CA

17、＝＝2

18、a

19、.∴

20、AB

21、＝

22、BC

23、＝

24、CA

25、,故△ABC是等边三角形.规律方法　1.判断多边形的形状或判断点之间的关系时,若已知点的坐标,一般转化为两点的距离求解

26、.2.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等,在进行判断时,一定要得出最终结果,比如一个三角形是等腰直角三角形,若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.跟踪演练1　本例若改为：已知A(－1,－1),B(3,5),C(5,3),试判断△ABC的形状.解　d(A,B)＝＝＝＝2,d(A,C)＝＝＝＝2,d(B,C)＝＝＝＝2.所以

27、AB

28、＝

29、AC

30、≠

31、BC

32、,且显然三边长不满足勾股定理,所以△ABC为等腰三角形,要点二　中点公式的应用例2　已知平行四边形ABC

33、D的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线交点为E(－3,4),求另外两顶点C、D的坐标.解　设C点坐标为(x1,y1),则由E为AC的中点得：得设D点坐标为(x2,y2),则由E为BD的中点得得故C点坐标为(－10,6),D点坐标为(－11,1).规律方法　1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质,依据中点公式列方程组求点的坐标.2.中点公式常用于求与线段中点,三角形的中线,平行四边形的对角线等有关的问题,解题时一般先根据几何概念,提炼出点之间的“中点关系”,然后用中点公式列方程或方程组求

34、解.跟踪演练2　已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0,0),B(2,0),D(1,3),求顶点C的坐标.解　∵平行四边形的对角线互相平分,∴平行四边形对角线的中点坐标相同.设C点坐标为C(x,y),则5∴即C(3,3).要点三　坐标法的应用例3　已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使

35、PA

36、2＋

37、PB

38、2＋

39、PC

40、2最小,并求此最小值.解　以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系如图.则A,B,C设P(x,y)则

41、PA

42、2＋

43、PB

44、2＋

45、PC

46、2＝x2＋2＋2＋y2

47、＋2＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋32＋a2≥a2,当且仅当x＝0,y＝a时,等号成立,∴所求最小值为a2,此时P点坐标为P是正△ABC的中心.规律方法　(1)也可以B为原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系,计算也不复杂.(2)配方法求最值是重要方法,应掌握好.(3)选择恰当坐标系的原则是“避繁就简”.跟踪演练3　已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的直角坐标系.证明：AM＝BC.证明　如图所示,以Rt△ABC的直角边AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立直角坐标系,设B、

48、C两点的坐标分别为(b,0)、(0,c),∵点M是BC的中点,故点M的坐标为.由两点的距离公式,得5

49、BC

50、＝＝,

51、AM

52、＝＝,∴AM＝BC.1.已知A(－8,－3),B(5,－3),则线段AB的中点坐标为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由中点坐标公式可以求得.2.已知A(1,2),B(a,6),且

53、AB

54、＝5,则a的值为(　　)A.4B.－4或2C.－2D.－2或4答案　D解析　＝5,解得a