2018版高中数学人教b版必修二学案1.1.2　第2课时　平面与平面垂直

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1、第2课时　平面与平面垂直[学习目标]　1.掌握平面与平面垂直的定义.2.掌握平面与平面垂直的判定与性质定理.3.理解线线垂直，线面垂直和面面垂直的内在联系.[知识链接]1.直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.2.直线与平面垂直的性质定义：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.符号表示：⇒a⊥b.[预习导引]1.平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线

2、与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.2.平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直.3.平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.要点一　平面与平面垂直判定定理的应用例1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.证明　连接AC，BC，则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，6∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PA

3、C⊥平面PBC.规律方法　面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.跟踪演练1　如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，求证：平面AEC⊥平面PDB.证明　设AC∩BD＝O，连接OE，∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，∴AC⊥平面PDB.又∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.要点二　面面垂直性质定理的应用例2　如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.解　已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l

4、.求证：l⊥γ.方法一　在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，PB垂直β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β.6∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB.又PA∩PB＝P，且PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ.方法二　在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ.∴m∥n.又n⊂β，∴m∥β.又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l.∴l⊥γ.规律方法　面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质.跟踪演练2　如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥

5、平面PBC.求证：BC⊥AB.证明　在平面PAB内，作AD⊥PB于D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.要点三　线线、线面、面面垂直的综合应用例3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.6(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.证明　(1)

6、∵在菱形ABCD中，G为AD的中点，∠DAB＝60°，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊥平面PAD.(2)连接PG，如图，∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.规律方法　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点；(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必

7、须垂直于它们的交线.跟踪演练3　如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：PA⊥BD.证明　如图，取BC的中点O，连接PO、AO.∵PB＝PC.∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，∴PO⊥底面ABCD.∵BD⊂平面ABCD，6∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAO＋∠ABD＝90°∴AO⊥BD，又PO