四川省成都市树德中学2023-2024学年高二下学期3月阶段性测试数学Word版含解析.docx

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树德中学高2022级3月阶段性测试数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么取次后剩下的长度的通项公式为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据剩余部分构成等比数列可得答案.【详解】由已知剩下部分所成数列，是以为首项，为公比的等比数列，所以.故选：C.2.已知等差数列的前n项和为，则（）A.140B.70C.154D.77【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，即可求出结果.【详解】等差数列的前n项和为，.故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 3.等差数列中，若，，则其公差等于（）A.2B.3C.6D.18【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的通项公式计算即可求解.【详解】由题意知，设等差数列的公差为，，两式相减，得，所以故选：A4.设，，，，，数列，则的前100项和是（）A.B.C.D.0【答案】D【解析】【分析】根据题意得到是以4为周期的函数，进而即可求解．【详解】由，则，则，则，则，所以是以4为周期的函数，又，所以的前100项和为：第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 ．故选：D．5.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则可推测（）A.271B.331C.1531D.3067【答案】A【解析】【分析】根据题意可得相邻两项的差为等差数列，利用累加法求解.【详解】由题意，，，，，，累加可得，所以，故选：A6.函数图象上的点到直线的距离的最小值是（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为：，利用导数的几何意义求得切点，再求出切点到直线的距离，即得答案.【详解】解：设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为：，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 设切点为，又因为，所以，解得，所以切点，又因为点到直线的距离为，所以函数图象上的点到直线的距离的最小值是.故选：B.7.已知的导数，且，，设，则（）A.4028B.2024C.2023D.【答案】D【解析】【分析】由已知求得的解析式，进而求得的解析式，根据的函数性质得到，进而求得结果.【详解】由，设且，求得，则.由，可知，又因为，所以，所以第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 .故选：D8.有一个国王奖励国际象棋发明者的故事，故事里象棋发明者要求这样的奖励；在棋盘上的64个方格中，第1个方格放1粒小麦，第2个方格放2粒小麦，…，第个方格放粒小麦，结果国王拿出全国的小麦也不够．假设能有这么多的小麦，则这个故事继续如下，将这些小麦用1，2，3，…，编号并按照一定规律逐个抽取幸运小麦，设第次被抽取的小麦编号为，若第一次随机抽取的幸运小麦编号为，接下来的幸运小麦按照规律逐个抽取，则共能抽取（）粒幸运小麦．A.4B.5C.15D.63【答案】B【解析】【分析】根据递推公式可得，进而取对数求解通项公式即可得，再列不等式求解即可.【详解】配方得：．取对数：，设，则，又，所以，，．由放小麦的规则可得小麦总粒数为，.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列有关导数的运算和几何意义的说法，正确的是（）A.若，则B.若，则第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 C.在处的切线斜率是D.过点的切线方程是【答案】BC【解析】【分析】AB选项，直接求导得到A错误，B正确；C选项，求导后，代入得到切线斜率；D选项，先得到不在上，设出切点，利用导函数几何意义得到切线方程，将代入，得到方程，求出切点，进而得到切线斜率，得到D错误.【详解】A选项，，A错误；B选项，，，B正确；C选项，，故，所以在处的切线斜率是，C正确；D选项，因为，故不在上，，设切点为，故，故过点的切线方程是，将代入切线方程中，，即，变形得到，即，解得或，故切线方程的斜率为或，故切线方程不为，D错误.故选：BC10.下列有关等差和等比数列的说法，正确的是（）A.若为等比数列，则为等差数列第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 B.若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列是常数列C.两个不同的正数的等差中项大于它们的等比中项D.若为递增等比数列，则其公比大于1【答案】BC【解析】【分析】举例说明判断AD；利用等差、等比数列定义推理判断C；作差比较即可判断D.【详解】对于A，取，数列为等比数列，而当为奇数时，无意义，A错误；对于B，数列既是等差数列，又是等比数列，则对任意的正整数，，显然是方程的两个实根，显然这两个实根相等，因此，所以数列是常数列，B正确；对于C，令两个正数，且，其等差中项为，等比中项为，则，显然，因此，C正确；对于D，数列是递增等比数列，而其公比为，D错误.故选：BC11.设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，则下列选项中成立的是（）A.B.C.D.与均为最大值【答案】ABD【解析】【分析】结合等比数列的定义利用数列的单调性判断各选项．【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，又，，，B正确；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 ，，即，A正确；由得，，所以，而，，因此，C错；由上知，先增后减，与均为的最大值，D正确．故选：ABD．三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分．12.写出一个满足前项和为的数列的通项公式；________．【答案】，（答案不唯一，写成关于的二次式均可）．【解析】【分析】根据的关系求解通项公式表达式即可.【详解】当时，，当时，，故当的通项公式为关于的二次式均可，如，故答案为：，（答案不唯一，写成关于的二次式均可）13.如图，角的始边与轴非负半轴重合，终边交单位圆于点，则当时，点纵坐标读数的平均变化率为________，其在处的瞬时变化率为________．【答案】①.②.1【解析】【分析】根据平均变化率的定义求解即可解决第一空；根据点纵坐标的函数关系式求导解决第二空.【详解】（1）因为，故当时，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 点纵坐标读数的平均变化率为.（2）易得的纵坐标与的关系为，则，故点纵坐标读数在处的瞬时变化率为.故答案为：；114.有一类有趣的数列被称为“外观数列”，该数列的后一项由前一项的外观产生．以为首项的“外观数列”记作，如：1，11，21，1211，111221，…，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11，第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得的其它项；再如：3，13，1113，3113，132113…若的第项记作，的第项记作，设，则________．【答案】60【解析】【分析】列出，的前几项，观察规律进而求出的通项公式即可求解.【详解】由题，当，时，，，，，，，，，，，，，由递推可知，随着的增大，和每一项除了最后一位不同外，其余各位数都相同，所以，所以的前项和为，所以，，时，，故答案为：60四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.回归课本．（1）已知等比数列的首项为，公比为，写出其前项和的公式及其推导过程；（2）写出函数的导数及其推导过程（用作差，求比值，取极限的定义推导）．第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1），推导过程见解析（2），推导过程见解析【解析】【分析】（1）易知当时；当时，利用错位相减求和法即可求解；（2）先求出，再由极限的定义求出，结合导数的定义即可求解.【小问1详解】当时，；当时，，①则，②①②，得，即，所以.【小问2详解】因为，所以，即.16.设数列的前项和为，，且．（1）求的通项公式；（2）数列满足，将与的公共项从小到大排列构成新数列，求的前项和．【答案】（1）第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 （2）【解析】【分析】（1）根据公式计算即可求解；（2）当为偶数时，当为奇数时，则为的偶数项，结合等差数列的前n项求和公式计算即可求解.【小问1详解】①当时，，，两式相减得，，整理可得，而，所以，即；②当时，，符合上式．综上：．【小问2详解】当为偶数时，，为奇数时，由得，所以与的公共项即为的偶数项，则是首项，公差为2的等差数列，所以，所以的前项和．17.在党中央的“棈准扶贫”政策支持下，小王2023年底获得了扶贫免息贷款10000元，并于2024年1月初用于他的农产品加工销售创业项目，因产品质优价廉，上市后供不应求。据前两个月的经营情况测算；在一定时期内（不低于一年），每月获得的利润可稳定在该月月初投入资金的．为了提高利润，需加大投入，于是每月月底将本利扣除房租水电等成本（由于扶贫政策，成本可稳定在1000元）后的余款继续投入到下个月再加工销售．设1月月底本利扣除成本后将要投资到下个月的资金是，以此类推，2月月底是，月月底是．（1）求；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 （2）求与的关系（表示成（，为常数）的形式）；（3）求，并预估小王在2024年（1月初至12月底）的年利润．（参考数据：可取，，）【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）根据题意可得；（2）根据题意可得；（3）由，利用构造法求出，令，即可求出答案.【小问1详解】．【小问2详解】由题意：，即【小问3详解】设，即，则，，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列；，．，预估小王2024年的年利润是．18已知等比数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 （3）若不是递增数列，，求的最小值．【答案】（1），，（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式，建立关于q得方程，求出即可求解；（2）根据等比数列的单调性，由（1）得，进而不等式转化为恒成立，结合数列的单调性即可求解；（3）根据等比数列的单调性可知或，分类讨论为偶数和奇数时的情况，求出对应的即可求解.【小问1详解】设的公比为，则，若，则．若，则．所以的公比为，，4，所以的通项公式为：，，．【小问2详解】若是递增数列，则，则有，，等价于，恒成立，令，即．而．时，，时，，时，，，，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 实数的取值范围为．【小问3详解】若不是单调数列，则，或．（i）当时，，①当为偶数时，；②当为奇数时，．所以此时的最小值为．（ii）当时，．①当为偶数时，，且为递增数列，；②当为奇数时，，不可能为最小值．所以此时的最小值为．19.约数，又称因数．定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记作，，，，．（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；（2）当时，若，，，构成等比数列，求与满足的关系式（用和表示）；（3）记，求证：．【答案】（1）答案不唯一（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等比数列的特征，结合约数的定义，即可列举；（2）法一：首先由等比数列的定义可得第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 ，再利用累乘法求得数列的通项公式，再根据等比数列的关系式，以及约数的定义，即可求解；法二：首先由等比数列的定义可得，再根据，即可联立后，即可化解求解；（3）由约数的性质可得，再利用放缩法，即可求和证明.【小问1详解】当时，正数的4个正约数构成等比数列，比如1，2，4，8为8的所有正约数，即．又比如1，3，9，27为27的所有正约数，即也可以，125，343，…都可以，但注意，64，256…不行．【小问2详解】法一：由题意可设，累乘得：，即，．，，，共个数均为的约数，又共个数为的所有约数，必有，，，（※），又由解得，代入（※）即得：．法二：由题可知，，，，因为，依题意可知，所以，化简可得，所以，因为，所以，因此可知是完全平方数．由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，所以，，，为，，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 ，所以．【小问3详解】证明；由题意知，，，所以，由题可得：，，，所以由放缩和裂项相消得，，因为，，所以，所以，即．【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用约数的性质，，，，以及，，再结合等比数列的性质，即可求解证明.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司